Conceptos clave de cálculo y álgebra: funciones inversas, sucesiones, límites, teoremas y asíntotas

Conceptos fundamentales de cálculo y álgebra

Función inversa de una función

La función inversa de una función permite obtener la función a partir de una imagen: dado un valor de la imagen, se obtiene el antecedente correspondiente. Primero hay que comprobar si la función es inyectiva; luego se permutan las variables.

Límites de una sucesión

Una sucesión es una función que asocia a cada n ∈ N un número real. Se representa por a_n, que es el término general de la sucesión. Pueden ser:

• Convergentes: ejemplo: a_n = 2n/(n+1).
• Divergentes: ejemplo: a_n = 2n - 1.
• Oscilantes: ejemplo: a_n = (-1)^{n+1}.

Asíntotas

Las ramas en el infinito de una función son aquellos tramos de su gráfica en los que la variable toma valores muy grandes o muy pequeños. Se clasifican en:

• Parabólicas: son aquellas en las que la curva no se aproxima a ninguna recta.
• Asintóticas: las que se aproximan a una recta denominada asíntota.

Teorema de Bolzano

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y toma signos opuestos en los extremos (es decir, f(a)·f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c perteneciente al intervalo abierto (a,b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Rolle

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y además f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a,b) tal que f'(c) = 0.

Condiciones:

• f es continua en [a,b]
• f es derivable en (a,b)
• f(a) = f(b)

Teorema de Lagrange (teorema del valor medio para derivadas)

Es una generalización del teorema de Rolle. Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), existe al menos un punto c ∈ (a,b) tal que la recta tangente en c es paralela al segmento que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)).

Condiciones:

• f es continua en [a,b]
• f es derivable en (a,b)

Fórmula: f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Matriz

Una matriz es una tabla de elementos dispuestos en m filas y n columnas.

Una matriz es simétrica cuando coincide con su traspuesta.

Integral definida de una función

La integral definida de una función continua en un intervalo [a,b] es el valor del área comprendida entre la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a, x = b. Se determina mediante el teorema fundamental del cálculo (teorema de Barrow).

Teorema del valor medio (para integrales)

Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], existe al menos un valor c ∈ (a,b) tal que

f(c) = (1/(b - a)) ∫_a^b f(x) dx.