Conceptos Clave de Cálculo: Asíntotas, Continuidad, Derivabilidad y Optimización

Conceptos Clave de Cálculo

Asíntotas

• Asíntota Horizontal (AH): Se define como y = nº, donde nº es el valor del límite de la función cuando x tiende a infinito.
• Asíntota Vertical (AV): Se define como x = nº, donde nº es un valor que no pertenece al dominio de la función y el límite de la función cuando x tiende a ese valor es infinito.
• Asíntotas Oblicuas (AO): Si existe una asíntota horizontal, no puede haber una asíntota oblicua. Para calcularla:
  • m es igual al límite de la función dividida por x cuando x tiende a infinito.
  • n es igual al límite de la función menos mx cuando x tiende a infinito.

Continuidad

Una función es continua en un punto a si el límite de la función cuando x tiende a a por la derecha (a+) es igual al límite de la función cuando x tiende a a por la izquierda (a-) y ambos son iguales al valor de la función en a.

Derivabilidad

• Si una función no es continua en un punto, entonces no es derivable en ese punto.
• Si una función es derivable en un punto a, entonces el límite de la función cuando x tiende a a por la derecha (a+) es igual al límite de la función cuando x tiende a a por la izquierda (a-).

Tabla de Crecimiento

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función:

1. Intervalos: Se identifican todos los puntos que pueden causar problemas en la función (puntos críticos, discontinuidades, etc.).
2. Punto de control: Se selecciona un punto dentro de cada intervalo.
3. Signo de f': Se evalúa el signo de la primera derivada de la función en cada punto de control.
4. Comportamiento:
   • Si f' es positiva (+), la función crece en ese intervalo.
   • Si f' es negativa (-), la función decrece en ese intervalo.

Tabla de Curvatura

Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función:

1. Intervalos: Se identifican todos los puntos que pueden causar problemas en la función (puntos de inflexión, discontinuidades, etc.).
2. Punto de control: Se selecciona un punto dentro de cada intervalo.
3. Signo de f'': Se evalúa el signo de la segunda derivada de la función en cada punto de control.
4. Curvatura:
   • Si f'' es negativa (-), la función es cóncava en ese intervalo.
   • Si f'' es positiva (+), la función es convexa en ese intervalo.

Extremos Relativos

Un punto a es un extremo relativo si f'(a) = 0.

Máximos y Mínimos

• Si f''(a) > 0, entonces a es un mínimo relativo.
• Si f''(a) < 0, entonces a es un máximo relativo.

Recta Tangente

La ecuación de la recta tangente a una función f(x) en el punto x=a es: y - f(a) = f'(a)(x - a).

En ocasiones, se nos da una función f y se nos dice que es igual a 0. En este caso, calculamos y, derivamos f, sustituimos x e y, y hallamos la recta tangente con y - y' = f'(a)(x - a).

Optimización

Pasos para resolver problemas de optimización:

1. Nombrar las variables y escribir la función a optimizar.
2. Si la función depende de más de una variable, buscar una relación entre ellas y expresar la función en términos de una sola variable.
3. Establecer el dominio de la variable elegida, que generalmente será un intervalo [a, b]. Si la función es continua en este intervalo, se garantiza la existencia de un máximo y un mínimo absoluto.
4. Buscar el máximo o mínimo de f en [a, b]:
   1. Si f es derivable en [a, b], el máximo y mínimo absoluto se alcanzarán en un extremo relativo o en los extremos del intervalo. Calcular los extremos relativos entre a y b (x1, x2, ..., xn) y evaluar f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b). El mayor valor será el máximo absoluto y el menor será el mínimo absoluto.
   2. Si hay algún punto en [a, b] donde f no sea derivable pero sí continua, calcular el valor de f en ese punto, ya que podría ser un extremo absoluto.
   3. Si f no es continua en algún punto de [a, b], estudiar el comportamiento de la función en las proximidades de ese punto.

Áreas

• Triángulo: (base * altura) / 2
• Cuadrado: lado²
• Trapecio: ((base mayor + base menor) / 2) * altura
• Círculo: π * radio²
• Esfera: 4π * radio²
• Rectángulo: base * altura

Volúmenes

• Cubo: lado³
• Rectángulo (Ortoedro): largo * ancho * alto
• Prisma: área de la base * altura
• Esfera: (4/3)π * radio³
• Cilindro: π * radio² * altura
• Cono: (1/3)π * radio² * altura