Conceptos clave de cálculo diferencial: Funciones, derivadas y aplicaciones

Conceptos fundamentales de funciones

Función Inyectiva: Elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas.

Función Sobreyectiva: El conjunto imagen de la función (Im(f)) es igual al codominio (Y). Es decir, todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.

Vértice de una parábola

Las coordenadas del vértice (V) de una parábola definida por la función cuadrática f(x) = ax² + bx + c son:

V = (-b/2a , (4ac - b²)/4a)

Composición y continuidad de funciones

Composición de funciones: Se denota como (i • h • g • f)(x), donde se aplican las funciones en orden, de derecha a izquierda.

Continuidad de funciones:

• Si las funciones f y g son continuas en sus respectivos dominios, entonces la función compuesta (g • f) también es continua en su dominio.
• Una función P, que es la suma de funciones continuas, es continua en su dominio.
• Una función definida como el cociente de funciones continuas (con denominador no nulo) es continua en su dominio.
• La continuidad de muchas funciones se deduce de que son el resultado de operaciones (suma, composición, etc.) entre funciones continuas.

Relación entre continuidad y derivabilidad

Teorema: Sea X ⊆ ℝ y f: X → ℝ. Sea x₀ ∈ X. Si f es derivable en x₀, entonces f es continua en x₀.

Demostración:

Para probar que f es continua en x₀, debemos demostrar que lím _x→x0 f(x) = f(x₀).

Podemos expresar f(x) de la siguiente manera:

f(x) = (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) · (x - x₀) + f(x₀)

Calculando el límite cuando x tiende a x₀:

lím _x→x0 f(x) = lím _x→x0 [(f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)] · lím _x→x0 (x - x₀) + lím _x→x0 f(x₀)

Dado que f es derivable en x₀, el primer límite es f'(x₀), el segundo es 0, y el tercero es f(x₀). Por lo tanto:

lím _x→x0 f(x) = f'(x₀) · 0 + f(x₀) = f(x₀)

Esto demuestra que f es continua en x₀.

Derivadas laterales

Una función f es derivable en x₀ por la izquierda (o por la derecha) si existe y es finito el límite lateral correspondiente:

lím _x→x0^- (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) (Derivada por la izquierda)

lím _x→x0⁺ (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀) (Derivada por la derecha)

f es derivable en x₀ si y solo si existen las derivadas laterales f'_-(x₀) y f'₊(x₀), y además, son iguales: f'_-(x₀) = f'₊(x₀).

Regla de la cadena

Teorema: Sean las funciones f y g. Sea x₀ ∈ Dom(f) tal que f(x₀) ∈ Dom(g). Consideremos la función compuesta (g • f). Si f es derivable en x₀ (existe f'(x₀)) y g es derivable en f(x₀) (existe g'[f(x₀)]), entonces (g • f) es derivable en x₀ y:

(g • f)'(x₀) = f'(x₀) · g'[f(x₀)]

Este teorema se puede extender a la composición de más de dos funciones.

Ejemplo:

f(x) = x² - 1

g(x) = sen(x)

(g • f)(x) = sen(x² - 1)

Derivadas de funciones elementales

• Función constante: f(x) = c; f'(x) = 0
• Función identidad: f(x) = x; f'(x) = 1
• Función potencial de exponente natural: f(x) = xⁿ; f'(x) = nx^n-1
• Función con coeficiente y exponente natural:f(x) = axⁿ; f'(x) = nax^n-1
• Función polinómica: f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ...; f'(x) = na_nx^n-1 + (n-1)a_n-1x^n-2 + ...
• Función racional: f(x) = p(x) / q(x); f'(x) = [p'(x)q(x) - p(x)q'(x)] / (q(x))² (donde q(x) ≠ 0)
• Función potencial de exponente negativo: f(x) = x^p; f'(x) = px^p-1
• Función exponencial: f(x) = a^x; f'(x) = a^x · ln(a)
• Función logarítmica: f(x) = log_a(x); f'(x) = (1/x) · log_a(e)
• Funciones trigonométricas:
  • sen(x) → cos(x)
  • cos(x) → -sen(x)
  • tg(x) → 1/cos²(x) = sec²(x) = 1 + tg²(x)
  • cotg(x) → -1/sen²(x) = -cosec²(x) = -(1 + cotg²(x))
  • sec(x) → sen(x)/cos²(x) = sen(x) · sec²(x)
  • cosec(x) → -cos(x)/sen²(x) = -cos(x) · cosec²(x)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Intervalo creciente: Una función f es creciente en un intervalo I si para todo x ∈ I, f'(x) > 0.

Intervalo decreciente: Una función f es decreciente en un intervalo I si para todo x ∈ I, f'(x) < 0.