Conceptos Clave de Cálculo y Geometría Analítica: Teoremas, Derivadas y Posiciones Relativas

Teoremas Fundamentales del Cálculo

Teorema de Bolzano

Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. Si el signo de f(a) es distinto del signo de f(b) (es decir, f(a) · f(b) < 0), entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0.

Aplicación (Tabla de valores): Se puede construir una tabla de valores para f(x) en el intervalo [a, b] para encontrar subintervalos donde la función cambia de signo, asegurando la existencia de una raíz.

Consecuencia del Teorema de Bolzano (Intersección de funciones)

Si tenemos dos funciones f(x) y g(x), ambas continuas en [a, b], y definimos una nueva función h(x) = f(x) - g(x) (que también será continua en [a, b]), podemos aplicar el Teorema de Bolzano a h(x):

• Si h(a) y h(b) tienen signos opuestos, es decir, si (f(a) - g(a)) · (f(b) - g(b)) < 0 (lo que ocurre si f(a) > g(a) y f(b) < g(b), o viceversa, f(a) < g(a) y f(b) > g(b)), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que h(c) = 0, lo que implica f(c) = g(c).

Ejemplo numérico mencionado: Si f(0)=1, g(0)=0 (f(0)>g(0)) y f(10)≈22.025, g(10)≈22.026 (f(10)

Teorema del Valor Medio (Lagrange)

Sea f(x) una función:

1. Continua en el intervalo cerrado [a, b].
2. Derivable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces, existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que:

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Nota sobre comprobación de hipótesis (funciones a trozos): Para verificar la continuidad en un punto interior 'p', se debe comprobar que los límites laterales coinciden con el valor de la función: lim (x→p⁻) f(x) = lim (x→p⁺) f(x) = f(p). Para verificar la derivabilidad en 'p', se calcula la función derivada f'(x) por trozos y se comprueba que los límites laterales de la derivada en 'p' existen y coinciden: lim (x→p⁻) f'(x) = lim (x→p⁺) f'(x).

Álgebra Lineal

Combinación Lineal

Un vector w = (x4, y4, z4) es combinación lineal de los vectores v1 = (x1, y1, z1), v2 = (x2, y2, z2), y v3 = (x3, y3, z3) si existen escalares a, b, c tales que:

a · v1 + b · v2 + c · v3 = w

Esto se traduce en un sistema de ecuaciones lineales:

• a·x1 + b·x2 + c·x3 = x4
• a·y1 + b·y2 + c·y3 = y4
• a·z1 + b·z2 + c·z3 = z4

Se resuelve el sistema para encontrar los valores de a, b, y c (si existen).

Geometría Analítica en el Espacio

Cálculo de Distancias

Distancia entre dos Puntos

La distancia entre dos puntos P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2) es el módulo (o norma) del vector que los une, PQ = (x2-x1, y2-y1, z2-z1):

d(P, Q) = |PQ| = sqrt((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)

Distancia de un Punto a una Recta

Dados un punto P y una recta r (definida por un punto A de la recta y su vector director v_d), la distancia es:

d(P, r) = |AP x v_d| / |v_d|

Donde 'AP' es el vector que va del punto A de la recta al punto P, 'x' denota el producto vectorial, y '| |' denota el módulo del vector.

Distancia de un Punto a un Plano

Dados un punto P(x0, y0, z0) y un plano π de ecuación general Ax + By + Cz + D = 0, la distancia es:

d(P, π) = |A·x0 + B·y0 + C·z0 + D| / sqrt(A² + B² + C²)

Posiciones Relativas

Posición Relativa de dos Rectas

Dadas dos rectas r (punto Pr, vector director u) y s (punto Ps, vector director v):

1. Comprobar paralelismo: ¿Son los vectores directores u y v proporcionales? (u = k · v).
2. Si son proporcionales (paralelas o coincidentes): Tomar un punto de una recta (ej. Pr) y comprobar si pertenece a la otra recta (s). Si pertenece, son coincidentes. Si no pertenece, son paralelas.
3. Si no son proporcionales (se cortan o se cruzan): Formar el vector PrPs = Ps - Pr. Calcular el determinante de la matriz formada por los tres vectores: det(PrPs, u, v).
4. Si det(PrPs, u, v) = 0, las rectas se cortan en un punto.
5. Si det(PrPs, u, v) ≠ 0, las rectas se cruzan (no se cortan y no son paralelas).

Posición Relativa de dos Planos

Dados dos planos π1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y π2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Se considera el sistema formado por ambas ecuaciones. Sea M la matriz de coeficientes y M* la matriz ampliada:

• Si rango(M) = rango(M*) = 2: Los planos se cortan en una recta.
• Si rango(M) = 1 y rango(M*) = 2: Los planos son paralelos.
• Si rango(M) = rango(M*) = 1: Los planos son coincidentes.

Posición Relativa de Recta y Plano

Dada una recta r (punto P, vector director v_d) y un plano π (vector normal n = (A, B, C)):

1. Calcular el producto escalar: v_d · n.
2. Si v_d · n ≠ 0: La recta y el plano se cortan en un punto.
3. Si v_d · n = 0: La recta es paralela al plano o está contenida en él.
4. Para diferenciar el caso anterior: Tomar un punto P de la recta r y sustituir sus coordenadas en la ecuación del plano π. Si la ecuación se cumple, la recta está contenida en el plano. Si no se cumple, la recta es paralela al plano.

Recta Perpendicular Común

Dadas dos rectas r (punto Pr, vector director u) y s (punto Ps, vector director v) que se cruzan:

1. El vector director de la recta perpendicular común, w, es perpendicular a u y v. Se calcula mediante el producto vectorial: w = u x v.
2. Se define un plano π1 que contiene a la recta r y al vector w. Su ecuación se obtiene con el determinante: det(X - Pr, u, w) = 0, donde X = (x, y, z).
3. Se define un plano π2 que contiene a la recta s y al vector w. Su ecuación se obtiene con el determinante: det(X - Ps, v, w) = 0.
4. La recta perpendicular común es la intersección de los planos π1 y π2. Se expresa como el sistema formado por las ecuaciones de ambos planos.

Cálculo Diferencial: Reglas de Derivación

Reglas Básicas

• Derivada de una constante por una función: D[k · f(x)] = k · f'(x)
• Derivada de un producto: D[f(x) · g(x)] = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
• Derivada de un cociente: D[f(x) / g(x)] = [f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)] / [g(x)]²
• Regla de la Cadena (Derivada de función compuesta): D[g(f(x))] = g'(f(x)) · f'(x)

Derivadas de Funciones Elementales (con Regla de la Cadena)

Potencias

• D[x^k] = k · x^(k-1)
• D[f(x)^k] = k · f(x)^(k-1) · f'(x)

Funciones Trigonométricas

• D[sen(x)] = cos(x)
• D[sen(f(x))] = cos(f(x)) · f'(x)
• D[cos(x)] = -sen(x)
• D[cos(f(x))] = -sen(f(x)) · f'(x)
• D[tg(x)] = 1 / cos²(x) = 1 + tg²(x)
• D[tg(f(x))] = [1 / cos²(f(x))] · f'(x) = [1 + tg²(f(x))] · f'(x)

Funciones Exponenciales

• D[e^x] = e^x
• D[e^f(x)] = e^f(x) · f'(x)
• D[a^x] = a^x · ln(a)
• D[a^f(x)] = a^f(x) · ln(a) · f'(x)

Funciones Logarítmicas

• D[ln(x)] = 1/x
• D[ln(f(x))] = (1 / f(x)) · f'(x) = f'(x) / f(x)
• D[log_a(x)] = 1 / (x · ln(a))
• D[log_a(f(x))] = 1 / (f(x) · ln(a)) · f'(x) = f'(x) / (f(x) · ln(a))