Conceptos Clave del Cálculo Integral: Teoremas y Discontinuidades

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Sea f:[a,b]→ R una función integrable. Entonces la función F:[a,b]→R definida por ∫_a^x f(t)dt= F(x), para x ∈ [a,b], si f(t) es continua en c ∈ [a,b] entonces: F'(c) = f(c)

Regla de Barrow

Sea f:[a,b]→R una función continua y P:[a,b]→R una primitiva de f. Entonces: ∫_a^b f(x)dx= P(b) – P(a)=P(x)]_a^b.

Teorema de Bolzano y Teorema de Weierstrass

El teorema de Bolzano afirma que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado y cuyos valores en los extremos sean de distinto signo, se anula en algún punto del intervalo abierto.

Sea f:[a,b]→R una función continua en [a,b] tal que f(a) * f(b) < 0, entonces existe al menos un valor c ∈ (a,b) tal que: f(c) = 0.

El teorema de Weierstrass afirma que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene extremos absolutos en ese intervalo.

Si f:[a, b]→R es una función continua, entonces f tiene máximo y mínimo absoluto en [a,b], es decir existen c y d ∈ [a,b] de forma que para todo x en [a,b], se verifica que f(c)≤f(x)≤f(d).

Discontinuidad: Tipos y Ejemplos

Se dice que la función f es discontinua en a o que f tiene una discontinuidad en a si la función está definida en un entorno de dicho punto (excepto quizás en a) y no es continua en dicho punto.

Las discontinuidades se clasifican en 2 categorías: evitables e inevitables.

Discontinuidades Evitables

Una discontinuidad en a se denomina evitable, si f se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo) apropiadamente f(a).

Observa que si una función f es discontinua en a, para que la discontinuidad sea evitable, el límite de la función en dicho punto tiene que existir, con el objeto de hacerla continua definiendo o redefiniendo f(a), con el valor de dicho límite. Es decir, tiene que existir el límite pero ser distinto de f(a), o bien tiene que existir el límite y f(a) no estar definida. En otro caso la discontinuidad será inevitable.

Discontinuidades Inevitables

Las discontinuidades inevitables pueden ser de dos clases:

• De salto: que aparecen cuando existen los límites laterales pero son diferentes.
• Esenciales: que aparecen cuando al menos uno de los límites laterales no existe o es infinito.