Conceptos Clave del Cálculo: Monotonía, Curvatura y Optimización de Funciones

Monotonía de una Función

La monotonía de una función se refiere a su comportamiento de crecimiento y/o decrecimiento en un intervalo dado.

Función Estrictamente Creciente

Una función f es estrictamente creciente en un intervalo (a,b) si y solo si, para todo x₁ y x₂ en (a,b) tal que x₁ < x₂, se cumple que f(x₁) < f(x₂).

Esto implica que la tasa de cambio promedio (f(x₂) – f(x₁)) / (x₂ – x₁) > 0.

En un punto x₀, una función es estrictamente creciente si existe un entorno centrado en x₀, E(x₀, a) = (x₀ - a, x₀ + a), en el que la función es estrictamente creciente. Es decir, si f'(x₀) > 0, entonces f es estrictamente creciente en x₀.

Función Estrictamente Decreciente

Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo (a,b) si y solo si, para todo x₁ y x₂ en (a,b) tal que x₁ < x₂, se cumple que f(x₁) > f(x₂).

Esto implica que la tasa de cambio promedio (f(x₂) – f(x₁)) / (x₂ – x₁) < 0.

En un punto x₀, una función es estrictamente decreciente si existe un entorno centrado en x₀, E(x₀, a) = (x₀ - a, x₀ + a), en el que la función es estrictamente decreciente. Es decir, si f'(x₀) < 0, entonces f es estrictamente decreciente en x₀.

Casos con Derivada Nula (f'(x₀) = 0)

Si f'(x₀) = 0, la función puede presentar diferentes comportamientos en x₀:

• Puede ser estrictamente creciente en x₀.
• Puede ser estrictamente decreciente en x₀.
• Puede no ser estrictamente creciente ni decreciente en x₀ (por ejemplo, un punto de inflexión horizontal o un extremo local).

Curvatura de una Función

La curvatura de una función hace referencia a la posición de la función con respecto a su recta tangente en un punto.

Función Cóncava

Una función f es cóncava en un punto (x₀, f(x₀)) cuando los puntos de la curva próximos a él están por encima de la recta tangente a f en dicho punto.

Función Convexa

Una función f es convexa en un punto (x₀, f(x₀)) cuando los puntos de la curva próximos a él están por debajo de la recta tangente a f en dicho punto.

Relación con la Segunda Derivada

La curvatura de una función en un punto está directamente relacionada con el signo de su segunda derivada:

• Si f''(x₀) > 0, entonces f es cóncava en el punto (x₀, f(x₀)).
• Si f''(x₀) < 0, entonces f es convexa en el punto (x₀, f(x₀)).

Punto de Inflexión

Si f''(x₀) = 0 y la concavidad de la función cambia en x₀, entonces f tiene un punto de inflexión en el punto (x₀, f(x₀)). Un punto de inflexión es aquel en el que la curvatura de la función cambia (de cóncava a convexa o viceversa).

Optimización de Funciones

Los problemas de optimización son fundamentales en diversas ciencias y campos de aplicación, como la economía (maximización de beneficios, minimización de costes) o la ingeniería y arquitectura (maximización de superficies o volúmenes).

Estos problemas se centran en la búsqueda de los valores máximos o mínimos (extremos) de una función.

Para resolverlos, se utiliza principalmente el cálculo diferencial, en particular la primera y segunda derivada.

Elementos Clave en Problemas de Optimización

En la resolución de un problema de optimización, es crucial identificar:

• La función objetivo: la función que se desea maximizar o minimizar.
• Las restricciones: las condiciones o ecuaciones que relacionan las variables de la función objetivo, si las hay.