Conceptos Clave de Derivabilidad y Continuidad en Matemáticas

Derivada en un Punto

Una función f es derivable en x=a si y solo si:

f´(a) = lim f(x) - f(a) / x - a

donde f´(a) ∈ ℝ.

x → a

Continuidad y Derivabilidad

Relación Directa: Derivabilidad implica Continuidad

Hipótesis (H): f es derivable en x=a (f´(a) = lim f(x) - f(a) / x - a, con f´(a) ∈ ℝ).

x → a

Tesis (T): f es continua en x=a (lim f(x) = f(a)).

x → a

Demostración:

lim f(x) = lim [f(x) - f(a) + f(a)]

x → a x → a

lim f(x) = lim [f(x) - f(a)] + f(a)

x → a x → a

lim f(x) = lim [f(x) - f(a)] * (x - a) / (x - a) + f(a)

x → a x → a

lim f(x) = lim [f(x) - f(a)] / (x - a) * lim (x - a) + f(a)

x → a x → a x → a

Dado que f´(a) ∈ ℝ, tenemos:

lim f(x) = f´(a) * 0 + f(a)

x → a

lim f(x) = f(a)

x → a

Por lo tanto, f es continua en x=a.

Recíproco (No siempre se cumple)

Hipótesis (H): f es continua en x = a.

Tesis (T): f es derivable en x = a.

Contraejemplo: La función f(x) = |x|.

f(x) = { x si x ≥ 0

{ -x si x < 0

La derivada de f(x) es:

f'(x) = { 1 si x > 0

{ -1 si x < 0

• f(0) = 0
• lim f(x) = 0 (por la derecha)
• x → 0+
• lim f(x) = 0 (por la izquierda)
• x → 0-

Como lim f(x) = f(0), la función es continua en x=0.

Sin embargo, al evaluar los límites de la derivada:

• lim f'(x) = 1
• x → 0+
• lim f'(x) = -1
• x → 0-

Dado que los límites laterales de la derivada no coinciden, f no es derivable en x = 0.

Función Continua en un Punto

Una función f es continua en x = a si y solo si:

lim f(x) = f(a)

x → a

Teorema de Bolzano

Hipótesis (H):

• f es continua en el intervalo cerrado [a, b].
• f(a) * f(b) < 0 (es decir, f(a) y f(b) tienen signos opuestos).

Tesis (T): Existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Darboux (Valor Intermedio)

Hipótesis (H):

• f es continua en el intervalo cerrado [a, b].
• f(a) < m < f(b) (o f(b) < m < f(a)).

Tesis (T): Existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = m.

Demostración (usando Bolzano):

1. Definimos una nueva función g(x) = f(x) - m.
2. Demostraremos que g cumple las condiciones del Teorema de Bolzano en [a, b].
3. Continuidad de g: Como f es continua en [a, b] (por hipótesis) y m es una constante, la función g(x) = f(x) - m también es continua en [a, b].
4. Signos de g(a) y g(b):
   • g(a) = f(a) - m. Dado que f(a) < m, entonces g(a) < 0.
   • g(b) = f(b) - m. Dado que f(b) > m, entonces g(b) > 0.
5. Como g(a) < 0 y g(b) > 0, se cumple que g(a) * g(b) < 0.
6. Por lo tanto, g cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano en [a, b].
7. Esto implica que existe un c ∈ (a, b) tal que g(c) = 0.
8. Sustituyendo en la definición de g: g(c) = f(c) - m = 0.
9. De donde se concluye que f(c) = m.

Continuidad en un Intervalo

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si:

• f es continua en cada punto x ∈ (a, b).
• f es continua por la derecha en a (lim f(x) = f(a)).
• x → a+
• f es continua por la izquierda en b (lim f(x) = f(b)).
• x → b-

Fórmulas Relevantes

(Esta sección parece estar incompleta en el documento original, se deja como estaba)