Conceptos Clave de Derivación en Cálculo

Regla de la Cadena

Si f es diferenciable en a y g es diferenciable en f(a), entonces la función compuesta g ◦ f es diferenciable en a y su derivada es (g ◦ f)´(a) = g'(f(a))f'(a).

Demostración

Veamos que lim_x→a (g(f(x))−g(f(a)))/(x−a) = g'(f(a))f'(a) por sucesiones (Nota 42). Sea una sucesión {x_n} → a cualquiera, con x_n ≠ a, ∀ n, y supongamos que f(x_n) ≠ f(a), ∀ n (el caso general es más complicado). Multiplicando y dividiendo por f(x_n)−f(a) ≠ 0 tenemos que (g(f(x_n))−g(f(a)))/(x_n−a) = (g(f(x_n))−g(f(a)))/(f(x_n)−f(a)) · (f(x_n)−f(a))/(x_n−a).

Estudiemos los dos cocientes de la derecha: Como {x_n} → a y f es diferenciable en a, la sucesión {(f(x_n)−f(a))/(x_n−a)} converge a f'(a). Como la sucesión {f(x_n)}→f(a) (pues f es continua en a) y g es diferenciable en f(a), la sucesión {(g(f(x_n))−g(f(a)))/(f(x_n)−f(a))} converge a g'(f(a)). Por lo tanto, la sucesión {(g(f(x_n))−g(f(a)))/(x_n−a)} es convergente y converge a g'(f(a))f'(a).

Teorema 55 (Rolle)

Sea f : [a, b] −→ R una función continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0 (ver Figura 68). Estos valores c se llaman puntos críticos de f.

Demostración

Si f es continua en [a, b], el Teorema 45 (de Weierstrass) garantiza que existen puntos e, d ∈ [a, b] donde f alcanza su máximo y su mínimo, respectivamente.

• Si e es punto interior de [a, b], existe un δ > 0 tal que (e − δ, e + δ) ⊂ (a, b). Entonces, para valores de h tales que |h| < δ, f(e + h) está bien definido y f(e + h)−f(e) ≤ 0 (pues f(e) es máximo). En este caso, f'(e) = lim_h→0+ (f(e + h) − f(e))/h ≤ 0, f'(e) = lim_h→0− (f(e + h) − f(e))/h ≥ 0. Notar que estos límites existen pues f es diferenciable. Como f'(e) ≥ 0 y f'(e) ≤ 0, necesariamente f'(e) = 0.
• Si d es punto interior de [a, b], procediendo como antes obtenemos que f'(d) = 0.
• Si e, d no son puntos interiores de [a, b], entonces e, d son los puntos frontera a, b, y como por hipótesis f(a) = f(b), tenemos que f(e) = f(d) (máximo y mínimo son iguales) y la función f es constante en [a, b]. En este caso, f'(c) = 0 en todos los puntos de (a, b).

Corolario 2 (Aplicación de Rolle)

Sea f : D ⊆ R −→ R una función diferenciable en D, intervalo abierto de R. Si f' no se anula en D, entonces f tiene, a lo sumo, un cero en D.

Demostración

Por reducción al absurdo, supongamos que f tiene dos ceros en D: f(a) = f(b) = 0. Entonces, por el Teorema de Rolle (f es diferenciable en (a, b) ⊂ D y continua en [a, b] ⊂ D) existe un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0, lo que es una contradicción (pues f' no se anula en D).

Teorema 56 (del Valor Medio)

Sea f : [a, b] −→ R una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = (f(b)−f(a))/(b−a).

Teorema 48 (Diferenciable implica Continua)

Sea una función f : D ⊆ R −→ R y sea a un punto interior de D. Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.

Demostración

Si f es diferenciable en a, entonces existe el lim_x→a (f(x)−f(a))/(x−a) = f'(a) (finito). Para valores de x distinto de a, podemos hacer f(x)−f(a) = ((f(x)−f(a))/(x−a)) (x − a), y tomando límites (recordemos que, en los límites cuando x → a, consideramos x ≠ a), lim_x→a (f(x)−f(a)) = lim_x→a ((f(x) − f(a))/(x − a)) (x − a) = f'(a) · 0 = 0, luego lim_x→a (f(x)−f(a)) = 0 ⇒ lim_x→a f(x) = f(a) ⇒ f es continua en a.