Conceptos Clave de Estadística: Distribuciones, Estimadores y Contrastes

Distribuciones de Probabilidad

Distribución Binomial

Se representa como B(n, p).

• Esperanza: E(x) = np
• Varianza: Var(x) = npq, donde q = 1 - p
• Función de probabilidad: P(x=k) = (n k) * p^k * q^(n-k)

Aproximaciones:

• Si n ≥ 30 y 0,1 < p < 0,9, se puede aproximar a una distribución normal N(np, √npq) (Teorema Central del Límite).
• Si n ≥ 30 y p ≤ 0,1, se puede aproximar a una distribución de Poisson P(λ), donde λ = np.

Ejemplos de cálculo de probabilidades:

• P(x=2): Consultar la tabla de la distribución binomial.
• P(x≤3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)
• P(x≥15) = P(x=15) + P(x=16) + ... + P(x=n)
• P(x≥2) = 1 - P(x<2) = 1 - [P(x=0) + P(x=1)]

Distribución de Poisson

Se representa como P(λ).

• Esperanza: E(x) = λ
• Varianza: Var(x) = λ

Aproximación:

• Si λ ≥ 18, se puede aproximar a una distribución normal N(λ, √λ) (Teorema Central del Límite).

Ejemplos de cálculo de probabilidades (usando la función de distribución acumulada F(x)):

• P(x≤4) = F(4)
• P(x<4) = F(3)
• P(x≥4) = 1 - P(x<4) = 1 - F(3)
• P(x>4) = 1 - P(x≤4) = 1 - F(4)
• P(x=4) = F(4) - F(3)

Distribución Normal

Normal Estándar N(0,1):

• P(x≤2): Consultar la tabla de la distribución normal estándar.
• P(x≥2) = 1 - P(x<2)
• P(x≤-2) = P(x≥2) = 1 - P(x<2)
• P(x≥-2) = P(x≤2)
• Consejo: Dibujar la curva normal para visualizar las áreas.

Normal General N(μ, σ²):

• Tipificar: z = (x - μ) / σ

Estimadores

Propiedades de los Estimadores

• Suficiencia: Un estimador es suficiente si utiliza toda la información relevante de la muestra.
• Insesgadez: Un estimador es insesgado si su esperanza coincide con el parámetro poblacional que se estima.
  • E(T1): Sustituir x por la media muestral (m) e igualar a m. Si m = m, el estimador es insesgado. Si m ≠ m, el estimador es sesgado.
  • Sesgo: b(T2) = E(T2) - parámetro poblacional. Ejemplo: b(T2) = (6/5)m - m = m/5
• Eficiencia: Entre dos estimadores insesgados, el más eficiente es el que tiene menor varianza.
  • Ejemplo: Var(m) = (1/4)(Var(x1) + Var(x2)) = (1/4)(σ² + σ²) = σ²/2
  • Si un estimador es sesgado, el más eficiente es el que tiene menor Error Cuadrático Medio (ECM).
  • ECM(T1) = Var(T1) + b(T1)²
• Consistencia: Un estimador es consistente si la probabilidad de que el error de estimación tienda a cero cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito.

Métodos de Estimación

Método de los Momentos

• Primer momento: α₁ = a₁
  • α₁ = E(x) = Σ x * P(x)
  • a₁ = Σ x_i / n
  • Igualar α₁ y a₁ y despejar la incógnita.
• Segundo momento (si hay dos incógnitas): α₂ = a₂
  • α₂ = E(x²) = Σ x_i² * P(x)
  • a₂ = Σ x_i² / n

Método de Máxima Verosimilitud

• L(x, k) = Π P(x_i), donde el producto se extiende a todas las observaciones de la muestra.
• Tomar logaritmos neperianos: ln[L(x, k)]
• Derivar con respecto al parámetro desconocido (k) e igualar a cero.
• Resolver la ecuación para obtener el estimador de máxima verosimilitud.

Intervalos de Confianza

• Elegir el caso apropiado (hay 9 casos posibles).
• Calcular 1 - α. Ejemplo: 1 - α = 0.95, entonces α = 0.05, α/2 = 0.025.
• Buscar en la tabla de la distribución correspondiente el valor crítico. Ejemplo: Para una distribución normal estándar y α/2 = 0.025, el valor crítico es z_α/2 = 1.96.
• Interpretación: Con un nivel de confianza del (1-α)%, el parámetro poblacional se encuentra dentro del intervalo calculado. Ejemplo: El 95% de las veces que estimamos la media, ésta estará comprendida entre los límites del intervalo.

Contrastes de Hipótesis

Tipos de Contrastes

• Unilateral 1:
  • H₀: θ ≥ θ₀
  • H₁: θ < θ₀ (se rechaza H₀ si el estadístico de prueba es menor que el valor crítico)
• Unilateral 2:
  • H₀: θ ≤ θ₀
  • H₁: θ > θ₀ (se rechaza H₀ si el estadístico de prueba es mayor que el valor crítico)
• Bilateral:
  • H₀: θ = θ₀
  • H₁: θ ≠ θ₀ (se rechaza H₀ si el estadístico de prueba cae fuera del intervalo de aceptación)

Procedimiento:

1. Establecer las hipótesis nula (H₀) y alternativa (H₁).
2. Determinar el nivel de significación (α).
3. Calcular el estadístico de prueba (z, t, F, etc.) según el caso.
4. Determinar el valor crítico o la región crítica según el tipo de contraste y el nivel de significación.
5. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico o la región crítica.

• Si el estadístico de prueba cae en la región de rechazo, se rechaza H₀ en favor de H₁.
• Si el estadístico de prueba cae en la región de aceptación, no se rechaza H₀.

Ejemplo: Si z (estadístico) = 10 > t_0.05 (valor crítico de la tabla), se rechaza H₀ con un nivel de significación α = 0.05. Comparación de varianzas (contraste bilateral):

• Se utiliza la distribución F de Snedecor.
• Se calcula el estadístico F como el cociente de las varianzas muestrales.
• Se determinan los valores críticos F_α/2 y F_1-α/2.
• Si F_1-α/2 < F < F_α/2, no se rechaza H₀.
• Nota: Como la tabla de F de Snedecor solo proporciona valores para F_0.05, se puede calcular F_1-α/2 como 1 / F_α/2.

Comparación de medias:

• Después de comparar las varianzas, se puede realizar un contraste de medias utilizando la distribución t de Student.

Errores en los Contrastes de Hipótesis

• Error tipo I (α): Probabilidad de rechazar H₀ cuando H₀ es verdadera. α = P(Rechazar H₀ | H₀ es cierta) = P(x ∈ RC | H₀)
• Error tipo II (β): Probabilidad de no rechazar H₀ cuando H₁ es verdadera. β = P(No rechazar H₀ | H₁ es cierta) = P(x ∉ RC | H₁)
• Potencia de un contraste: 1 - β. Es la probabilidad de rechazar H₀ cuando H₁ es verdadera.
• Cálculo de β: Para calcular β, se necesita conocer la distribución del estadístico de prueba bajo H₁.
  • Ejemplo: Si se contrasta la media poblacional (μ) y se conoce la desviación típica poblacional (σ), se puede calcular β destipificando el valor crítico bajo H₁.
  • Ejemplo: -1.96 = (k₁ - 175) / (9/√25). Se despeja k₁ y k₂, y esos dos valores definen la región crítica (RC).