Conceptos Clave de Estadística: Muestreo, Estimación y Contraste de Hipótesis
Clasificado en Matemáticas
Escrito el en 
español con un tamaño de 6,68 KB
Conceptos Fundamentales de Muestreo Estadístico
En el ámbito de la estadística, es crucial comprender una serie de términos básicos que nos permiten abordar el estudio de datos de manera sistemática.
Población
La Población es una parte de la realidad económica o de cualquier otro ámbito que se va a estudiar, la cual describe una característica completa de ella mediante una distribución de probabilidad.
Muestra
La Muestra es un conjunto representativo de una población, seleccionado para su estudio.
Muestra Genérica de Tamaño 'n'
Una Muestra Genérica de Tamaño 'n' está formada por 'n' variables aleatorias, que representan las posibles observaciones.
Muestra Concreta
Una Muestra Concreta se refiere a los 'n' números específicos que la variable aleatoria asigna a los elementos poblacionales que participan en la muestra, es decir, los valores observados.
Estadísticos
Los Estadísticos son cualquier combinación lineal de las componentes muestrales. Son funciones de los datos de la muestra que se utilizan para estimar parámetros poblacionales.
Muestreo Aleatorio
El Muestreo Aleatorio es un método donde cualquier elemento de la población puede participar en la muestra, y todos tienen la misma probabilidad de salir en ella. Este tipo de muestreo a menudo implica reemplazamiento, lo que en la práctica se asocia con poblaciones consideradas infinitas o muy grandes.
Muestreo Estratificado
El Muestreo Estratificado consiste en analizar subconjuntos de la población (estratos) que son homogéneos internamente y heterogéneos entre sí, garantizando la representación de diferentes grupos.
Principios de Estimación Estadística
La estimación es una rama fundamental de la inferencia estadística que busca aproximar valores de parámetros poblacionales desconocidos a partir de datos muestrales.
Estimadores
Los Estimadores son funciones de los datos muestrales que se utilizan para averiguar o aproximar el valor de un parámetro poblacional desconocido.
Insesgadez
La Insesgadez es una propiedad deseable de un estimador. Un estimador θ* es insesgado si su esperanza matemática (valor esperado) es igual al verdadero valor del parámetro θ que se desea estimar, es decir, E(θ*) = θ. El sesgo se define como Sesgo = E(θ*) - θ. Un estimador es insesgado cuando su sesgo es cero.
- Por ejemplo, la media muestral (&bar;x) es un estimador insesgado de la media poblacional (μ), ya que E(&bar;x) = μ.
- Sin embargo, la varianza muestral (S²x), calculada con 'n' en el denominador, no es un estimador insesgado de la varianza poblacional (σ²), dado que E(S²x) = (n/(n-1)) · σ². Por esta razón, se utiliza la varianza muestral corregida (S²n-1 o s²), que sí es insesgada: E(S²n-1) = σ².
Insesgadez Asintótica
Un estimador θ* es Insesgado Asintóticamente si su sesgo tiende a cero a medida que el tamaño de la muestra (n) tiende a infinito, es decir, limn→∞ E(θ*) = θ. Por ejemplo, la varianza muestral S²x es asintóticamente insesgada, ya que limn→∞ (n/(n-1)) · σ² = σ².
Consistencia
Un estimador θ* es Consistente si, a medida que el tamaño de la muestra (n) tiende a infinito, la probabilidad de que el estimador se desvíe del verdadero valor del parámetro en una cantidad arbitrariamente pequeña tiende a 1. Formalmente, P[|θ* - θ| < ε] → 1 cuando n → ∞.
Eficiencia
La Eficiencia de un estimador se refiere a su varianza. Un estimador es eficiente si su varianza es la mínima posible entre todos los estimadores insesgados, coincidiendo con la cota inferior de Cramer-Rao. Un estimador más eficiente proporciona estimaciones más precisas.
Contraste de Hipótesis Estadísticas
El contraste de hipótesis es un procedimiento estadístico que permite tomar decisiones sobre una población basándose en la información de una muestra.
Hipótesis Estadística
Una Hipótesis Estadística es cualquier conjetura o afirmación sobre la distribución de probabilidades de una población o sobre sus parámetros poblacionales.
Hipótesis Nula (H0)
La Hipótesis Nula (H0) es la afirmación que se asume como verdadera hasta que la evidencia muestral demuestre lo contrario. Tradicionalmente, se formulaba con la expectativa de que no hubiera diferencias significativas entre lo postulado y los datos muestrales. Sin embargo, debido a la aleatoriedad inherente al muestreo, siempre existirán algunas diferencias. Si estas diferencias son pequeñas y atribuibles al azar, no se rechaza H0. Si las diferencias son grandes y poco probables bajo H0, entonces se rechaza H0 en favor de la hipótesis alternativa.
Hipótesis Alternativa (H1)
La Hipótesis Alternativa (H1) es la afirmación que se acepta cuando la evidencia muestral es suficiente para rechazar la hipótesis nula.
Errores en el Contraste de Hipótesis
Al tomar una decisión en un contraste de hipótesis, se pueden cometer dos tipos de errores:
- Error Tipo I (α): Se produce cuando se rechaza la hipótesis nula (H0) siendo esta verdadera. Las consecuencias de este error suelen ser consideradas más graves, ya que implica tomar una acción o conclusión incorrecta que podría ser difícil de revertir.
- Error Tipo II (β): Se produce cuando se acepta la hipótesis nula (H0) siendo esta falsa. Aunque también es un error, sus consecuencias a menudo se consideran menos críticas que las del Error Tipo I, ya que una hipótesis falsa aceptada podría ser rechazada en estudios posteriores con más evidencia.
Región Crítica
La Región Crítica (o región de rechazo) es el conjunto de todas las posibles muestras de tamaño 'n' que, si se observan, llevarían a rechazar la hipótesis nula (H0).
Región de Aceptación
La Región de Aceptación es el conjunto de todas las posibles muestras de tamaño 'n' que, si se observan, llevarían a aceptar la hipótesis nula (H0), debido a que la información que proporcionan estas muestras se diferencia de lo reflejado en la hipótesis H0 en un valor inferior a un umbral predefinido (dα).