Conceptos Clave de Estadística y Probabilidad: Una Revisión Completa

Relación entre la Distribución Exponencial y el Proceso de Poisson

Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial se encuentran en situaciones donde se aplica el proceso de Poisson. Es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también que la distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de un número específico de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo, un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la hora de salida del trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa el evento de Poisson.

Ahora, con el objeto de que se reconozca la presencia de la distribución exponencial, puede derivarse la distribución acumulada de Poisson para obtener la función de densidad, la cual es la función de densidad de la distribución exponencial.

La distribución de Poisson describe el número de eventos por unidad de tiempo; la distribución exponencial representa el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos. La distribución exponencial puede derivarse de la de Poisson.

Tipos de Distribuciones de Probabilidad

Distribución Triangular

Es la distribución de probabilidad continua que tiene un valor mínimo a, un valor máximo b y una moda c, de modo que la función de densidad de probabilidad es cero para los extremos (a y b), y afín entre cada extremo y la moda, por lo que su gráfico es un triángulo.

Distribución de Bernoulli

Esta es la más simple de las distribuciones discretas. Toma solo dos valores que se denotan como fracaso (x = 0) o éxito (x = 1), con probabilidades 1-p y p respectivamente. Se usa para modelar la probabilidad de que un resultado sea de una clase específica o tenga una característica específica.

Distribución Binomial

Es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Distribución Geométrica

Es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito o resultado deseado.

Distribución Binomial Negativa

Esta distribución puede considerarse como una extensión o ampliación de la distribución geométrica. La distribución binomial negativa es un modelo adecuado para tratar aquellos procesos en los que se repite un determinado ensayo o prueba hasta conseguir un número determinado de resultados favorables (por vez primera).

Distribución de Weibull

Es una distribución de probabilidad continua. Modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando estos son proporcionales al tiempo.

Distribución Uniforme (Continua)

La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua donde todos los valores de un intervalo específico tienen la misma probabilidad. Una distribución de entero es una versión discreta de la distribución uniforme. Con frecuencia, la distribución uniforme se utiliza para modelar eventos aleatorios cuando cada instancia o resultado potencial tiene la misma probabilidad de ocurrencia.

Medidas Estadísticas

• Moda: Es el valor con mayor frecuencia en una distribución de datos.
• Mediana: Es el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.
• Media: Promedio aritmético, es decir, la suma de todos los valores dividida entre el número de valores.
• Varianza: Es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de una variable respecto a su media.
• Esperanza de la variable aleatoria X: Es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio. Cuando la variable es discreta, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces.

Simulación y Procesos

Simulación de Modelos con Eventos Discretos

Es aquella en la cual el estado de las variables que incorpora el sistema cambia en puntos determinados en el tiempo debido a la ocurrencia de un evento. Los procesos discretos contemplan la salida del proceso en forma de unidades o número finito de piezas.

Procesos Discretos

Cambio de estados o intervalos discretos en el tiempo, imposibles de medir. El estado no cambia.

Función Distribución Inversa

Es la función inversa de las funciones de densidad de probabilidad de los modelos estadísticos, de la cual saldrán los datos en la simulación, de acuerdo con la distribución que atiendan.

Desviación Estándar

Es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio. Es la sumatoria del cuadrado de la diferencia entre los datos y su media aritmética, dividido entre el número de datos totales. Explica qué tan separados están los datos del promedio de los mismos.

Pruebas de Hipótesis

Prueba Chi Cuadrado

Consiste en hallar el error cuadrático medio de datos muestrales, sabiendo la probabilidad de que ocurra cada uno. Este error cuadrático medio se compara con una tabla y, dependiendo de la confianza que se maneje, permite saber si se acepta o se rechaza la hipótesis.

Existen diferentes formas de probar las hipótesis paramétricas con relación a una variable aleatoria. En algunos casos se necesita probar si una variable o unos datos siguen una determinada distribución de probabilidad, un método para hacer esta prueba es el de bondad de ajuste.

La información debe estar presentada en un cuadro de distribución de frecuencias. Sea m el número de clases y n_j el número de observaciones en cada clase (frecuencias observadas). Se trata de comparar las frecuencias observadas (n_j) con las frecuencias que habría en cada grupo, o sea el valor esperado (e_j) si se cumple la hipótesis nula (H₀).

Las diferencias entre lo observado y lo esperado dan las discrepancias entre la teoría y la realidad. Si no hay diferencias, la realidad coincidirá perfectamente con la teoría y, por el contrario, si las diferencias son grandes indica que la realidad y la teoría no se parecen.