Conceptos Clave de Funciones y Límites en Matemáticas

Conceptos Fundamentales de Funciones

Definición de Función

Una función es una relación entre un conjunto X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio), donde a cada elemento del dominio le corresponde exactamente un elemento del codominio.

Criterio de la Línea Vertical para Funciones

Para determinar si una gráfica representa una función, se traza una línea vertical en la gráfica. Si esta línea toca la gráfica en al menos dos puntos, entonces la gráfica no representa una función, ya que contradice el concepto fundamental de que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el codominio.

Dominio y Rango de una Función

• Dominio: Es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable independiente X. Son los elementos para los cuales la función está definida y tienen una imagen en el codominio.
• Rango (o Imagen): Es el conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio. Son los valores que toma la variable dependiente Y como resultado de la aplicación de la función.

Tipos de Funciones según su Comportamiento

Función Estrictamente Creciente

Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que: . Es decir, si el valor de x aumenta, el valor de y también aumenta.

Función Estrictamente Decreciente

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que: . Es decir, si el valor de x aumenta, el valor de y disminuye.

Continuidad de Funciones

Función Continua

Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Esto significa que su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

Función Discontinua

Una función discontinua es aquella que no puede dibujarse de un solo trazo. Es decir, existen puntos donde una pequeña variación de la variable independiente produce un salto abrupto en los valores de la variable dependiente. Estos puntos reciben el nombre de puntos de discontinuidad de la función.

Desigualdades e Inecuaciones

Desigualdad

Una desigualdad es una expresión matemática que indica que dos cantidades o expresiones no son iguales. Se representa con símbolos como:

• A ≠ B: Significa que A no es igual a B.
• A > B: Significa que A es mayor que B.
• A < B: Significa que A es menor que B.
• A ≥ B: Significa que A es mayor o igual que B.
• A ≤ B: Significa que A es menor o igual que B.

Inecuación

Una inecuación es una desigualdad que contiene una o más variables. Resolver una inecuación implica encontrar el conjunto de valores de la variable que satisfacen la desigualdad. Por ejemplo, expresiones como y > ax + b son inecuaciones.

Intervalo

Un intervalo es un subconjunto de números reales que se corresponde con un segmento o una semirrecta en la recta real. La representación gráfica de los números reales se denota con R.

Ecuación de la Recta

La ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

Introducción a los Límites

Definición de Límite de una Función

El límite de la función f(x) en un punto c (denotado como lim_x→c f(x) = L) significa que el valor de f(x) puede ser tan cercano a L como se desee, tomando valores de x suficientemente cercanos a c (pero distintos de c).

Límites Laterales

Límite por la Izquierda

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L (lim_x→a⁻ f(x) = L), si y solo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a - δ, a), entonces |f(x) - L| < ε.

Límite por la Derecha

El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L (lim_x→a⁺ f(x) = L), si y solo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a, a + δ), entonces |f(x) - L| < ε.

Teoremas Fundamentales de Límites

Los siguientes teoremas son esenciales para el cálculo de límites:

• Teorema 1 (Suma): El límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de cada una de las funciones.
• Teorema 2 (Diferencia): El límite de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de los límites de cada una de las funciones.
• Teorema 3 (Producto por una Constante): El límite de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por el límite de la función.
• Teorema 4 (Producto): El límite de la multiplicación de funciones es igual a la multiplicación de los límites de cada una de las funciones.
• Teorema 5 (Cociente): El límite de una división de funciones es igual a la división de los límites de cada una de las funciones, siempre que el límite del denominador sea diferente de cero.
• Teorema 6 (Potencia): El límite de una función elevada a la n-ésima potencia es igual al límite de la función elevado a la n-ésima potencia.
• Teorema 7 (Límite de una Constante): El límite de una constante es igual a la misma constante.
• Teorema 8 (Límite de la Función Identidad): El límite de x cuando x tiende hacia a es igual a a.
• Teorema 9 (Límite de una Potencia de x): El límite de x elevado a la n es igual a a elevado a la n.
• Teorema 10 (Límite de una Raíz de x): El límite de la raíz n-ésima de x es igual a la raíz n-ésima de a.
• Teorema 11 (Límite de una Raíz de una Función): El límite de la raíz n-ésima de una función es igual a la raíz n-ésima del límite de la función.
• Teorema 12 (Límite de una Composición de Funciones): Si es continua en y , entonces .