Conceptos Clave de Geometría Analítica: Rectas y Vectores en el Plano

Ecuaciones de la Recta

1. Ecuación Vectorial

La ecuación vectorial de una recta se expresa como: (x, y) = (O₁, O₂) + t(U₁, U₂), donde (O₁, O₂) es un punto de la recta, (U₁, U₂) es su vector director y t es un parámetro real.

2. Ecuaciones Paramétricas

Las ecuaciones paramétricas se derivan de la vectorial, expresando cada coordenada por separado:

• x = O₁ + tU₁
• y = O₂ + tU₂

3. Ecuación Continua

La ecuación continua se obtiene despejando el parámetro t de las ecuaciones paramétricas e igualando las expresiones (si U₁ ≠ 0 y U₂ ≠ 0): (x - O₁) / U₁ = (y - O₂) / U₂.

4. Ecuación General (o Implícita)

La ecuación general (o implícita) de una recta es de la forma: Ax + By + C = 0, donde A, B y C son constantes y A y B no son simultáneamente nulas. El vector normal a la recta es (A, B).

5. Ecuación Explícita

La ecuación explícita de una recta se obtiene despejando y de la ecuación general (si B ≠ 0): y = mx + n, donde m es la pendiente y n es la ordenada al origen.

Cálculo de Pendientes

La pendiente (m) de una recta se puede calcular de varias formas:

• A partir de un vector director U = (U₁, U₂): m = U₂ / U₁ (si U₁ ≠ 0).
• A partir de la ecuación general Ax + By + C = 0: m = -A / B (si B ≠ 0).

Ecuación de la Recta con Dos Puntos

Si conocemos dos puntos A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂):

1. Hallar el vector director AB: U = AB = (b₁ - a₁, b₂ - a₂).
2. Utilizar la ecuación continua con uno de los puntos (por ejemplo, A) y el vector director: (x - a₁) / (b₁ - a₁) = (y - a₂) / (b₂ - a₂) (si b₁ - a₁ ≠ 0 y b₂ - a₂ ≠ 0).

Ecuación Punto-Pendiente

Si conocemos un punto A(a₁, a₂) y la pendiente m de la recta, su ecuación es: y - a₂ = m(x - a₁).

Distancia entre Dos Puntos

La distancia entre dos puntos A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂) se calcula como el módulo del vector que los une: d(A, B) = |AB| = √((b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)²). Es importante recordar que d(A, B) = d(B, A).

Posición Relativa entre Dos Rectas

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos (o proporcionales) y, por lo tanto, sus pendientes son iguales (m₁ = m₂). No tienen puntos en común, a menos que sean coincidentes.

Condición para Rectas Paralelas (Ecuación General)

Dadas las rectas R: A₁x + B₁y + C₁ = 0 y S: A₂x + B₂y + C₂ = 0, son paralelas si A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂ (no coincidentes) o A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ (coincidentes).

Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares. Esto implica que el producto de sus pendientes es -1 (m₁ * m₂ = -1). Si una pendiente es m, la pendiente de una recta perpendicular es -1/m.

Condición para Rectas Perpendiculares (Ecuación General)

Dadas las rectas R: A₁x + B₁y + C₁ = 0 y S: A₂x + B₂y + C₂ = 0, son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es cero: A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Punto de Corte de Dos Rectas (Intersección)

El punto de corte (o intersección) de dos rectas R y S se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones formado por sus expresiones.

Mediatriz de un Segmento

La mediatriz de un segmento AB es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Para calcularla:

1. Calcular el vector director del segmento AB y su pendiente m_AB.
2. La pendiente de la mediatriz será la inversa y opuesta: m_mediatriz = -1 / m_AB (si m_AB ≠ 0).
3. Calcular el punto medio (PM) del segmento AB.
4. Con el punto medio (PM) y la pendiente de la mediatriz, usar la ecuación punto-pendiente para hallar la ecuación de la mediatriz.

Distancia de un Punto a una Recta

La distancia de un punto P(x₀, y₀) a una recta R: Ax + By + C = 0 se calcula mediante la fórmula: d(P, R) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²).

Distancia entre Dos Rectas

Para calcular la distancia entre dos rectas R y S:

1. Primero, comprobar su posición relativa.
2. Si son paralelas (y no coincidentes), se elige un punto P cualquiera de una de las rectas (por ejemplo, R) y se calcula la distancia de ese punto P a la otra recta S: d(R, S) = d(P, S).
3. Si son coincidentes o secantes, la distancia es 0.

Ángulo entre Dos Rectas

El ángulo α que forman dos rectas se puede calcular a partir de sus vectores directores U_R = (U₁_R, U₂_R) y U_S = (U₁_S, U₂_S):

1. Obtener un vector director de cada recta.
2. Aplicar la fórmula del producto escalar: cos(α) = |U_R · U_S| / (|U_R| * |U_S|).
3. El ángulo α = arccos(|U_R · U_S| / (|U_R| * |U_S|)). Se toma el valor absoluto para obtener el ángulo agudo.

Vectores y Operaciones Fundamentales

Vector entre Dos Puntos

Un vector AB con origen en A(a₁, a₂) y extremo en B(b₁, b₂) se calcula restando las coordenadas del origen a las del extremo: AB = B - A = (b₁ - a₁, b₂ - a₂).

Módulo de un Vector

El módulo (o longitud) de un vector V = (v₁, v₂) se calcula como: |V| = √(v₁² + v₂²).

Vector Unitario

Un vector unitario es un vector cuyo módulo es 1. Para obtener el vector unitario de un vector V, se divide el vector por su módulo: u_V = V / |V|.

Operaciones Básicas con Vectores

Dados los vectores A = (a₁, a₂) y B = (b₁, b₂), y un escalar k:

• Suma/Resta: A ± B = (a₁ ± b₁, a₂ ± b₂)
• Producto por un escalar: k * A = (k*a₁, k*a₂)

Forma Polar de un Vector

Un vector U = (u₁, u₂) en coordenadas cartesianas puede expresarse en forma polar mediante su módulo |U| y su ángulo θ con respecto al eje positivo de las X. El módulo es |U| = √(u₁² + u₂²) y el ángulo se calcula como θ = arctan(u₂ / u₁), ajustando el cuadrante según los signos de u₁ y u₂.

Vectores Paralelos

Dos vectores a = (a₁, a₂) y b = (b₁, b₂) son paralelos si sus componentes son proporcionales: a₁/b₁ = a₂/b₂ (siempre que los denominadores no sean cero). Esto también significa que uno es un múltiplo escalar del otro: a = k * b para algún escalar k.

Vectores Perpendiculares (Ortogonales)

Dos vectores a = (a₁, a₂) y b = (b₁, b₂) son perpendiculares (u ortogonales) si su producto escalar es cero: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ = 0.

Cálculo de Vectores Paralelos o Perpendiculares

Dado un vector V = (v₁, v₂):

• Un vector paralelo a V es cualquier múltiplo escalar de V, por ejemplo, k * V = (k*v₁, k*v₂).
• Un vector perpendicular a V es V_perp = (-v₂, v₁) o (v₂, -v₁), ya que su producto escalar con V es cero.

Combinación Lineal de Vectores

Un vector b es una combinación lineal de otros vectores a y c si puede expresarse como: b = m*a + n*c, donde m y n son escalares.

Producto Escalar de Vectores

El producto escalar de dos vectores U = (u₁, u₂) y W = (w₁, w₂) se define como: U · W = u₁w₁ + u₂w₂. El resultado es un escalar.

Ángulo entre Dos Vectores

El ángulo α que forman dos vectores U y W se calcula utilizando el producto escalar: cos(α) = (U · W) / (|U| * |W|). Por lo tanto, α = arccos((U · W) / (|U| * |W|)).

Base Vectorial

En un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, la base canónica está formada por los vectores unitarios i = (1, 0) y j = (0, 1). Cualquier vector a = (a₁, a₂) puede expresarse como una combinación lineal de estos vectores: a = a₁i + a₂j.

Vectores Ortonormales y Base Ortonormal

Un conjunto de vectores es ortonormal si son ortogonales (perpendiculares) entre sí y cada uno tiene un módulo unitario (igual a 1). Por ejemplo, los vectores de la base canónica i y j son ortonormales, ya que i · j = 0, |i| = 1 y |j| = 1.