Conceptos Clave de Geometría Plana: Elementos Notables de Triángulos y Polígonos

Elementos Notables del Triángulo

Altura y Ortocentro

La altura es la distancia que va desde la base a su vértice opuesto. Estas alturas se trazan mediante segmentos perpendiculares al lado opuesto.

El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.

Mediana y Baricentro

La mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

El punto de corte de las tres medianas es el baricentro (o centro de gravedad), el cual divide a cada mediana en dos segmentos, manteniendo una proporción de 2:1 (el segmento que une el baricentro con el vértice es el doble del segmento que une el baricentro con el punto medio del lado opuesto).

Mediatriz y Circuncentro

La mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.

El punto de corte de las tres mediatrices es el circuncentro. Este punto es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo (la cual pasa por sus tres vértices).

Bisectriz e Incentro

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Un triángulo cualquiera tiene tres bisectrices, que se cortan en un punto común.

El punto de corte de estas tres bisectrices se llama incentro.

Conceptos Fundamentales de Polígonos

Polígono Convexo: Definición y Elementos

Un polígono convexo es la zona del plano limitada por una línea poligonal cerrada.

• Los segmentos de la poligonal constituyen los lados del polígono.
• Los extremos de dichos segmentos son los vértices del polígono.

Tipos de Ángulos en un Polígono Convexo

1. Ángulo Interior: Formado por las semirrectas que contienen a dos lados y cuyo origen está en el vértice común de los mismos.
2. Ángulo Exterior: Formado por las semirrectas que contienen a un lado y a la prolongación del siguiente, con origen en el vértice común.

Propiedades Numéricas y Suma de Ángulos

El polígono tiene el mismo número de lados que de vértices y de ángulos (tanto interiores como exteriores).

Los segmentos que unen vértices no consecutivos son las diagonales del polígono.

Suma de Ángulos Interiores

Si desde un vértice se trazan todas las diagonales, se obtienen n-2 triángulos, siendo n el número de lados. Dado que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, la suma de los ángulos interiores (S_i) de un polígono se calcula mediante la fórmula:

$$S_i = (n-2) \cdot 180º$$

Suma de Ángulos Exteriores

Los ángulos exteriores son suplementarios de los interiores correspondientes, por lo que su suma total es siempre 360º.

Polígonos Regulares

Los polígonos regulares son aquellos cuyos lados y ángulos son iguales (equiláteros y equiángulos).

Ejemplos de polígonos regulares:

• Triángulo equilátero
• Cuadrado
• Pentágono regular
• Hexágono regular

Estos polígonos son inscribibles en una circunferencia (la cual pasa por todos sus vértices).

Ángulo Central (α)

Un polígono regular contiene tantos triángulos isósceles iguales como lados tenga, teniendo el centro de la circunferencia circunscrita (O) como vértice común a todos ellos. El ángulo central (α) se calcula como:

$$\alpha = \frac{360º}{n}$$

Donde n es el número de lados del polígono.