Conceptos Clave de Geometría: Transformaciones y Poliedros

Transformaciones Geométricas y Cuerpos Poliedricos

Giros (Rotaciones)

Un giro es una transformación geométrica donde un punto se mueve alrededor de un punto fijo (centro de giro) un cierto ángulo. El ángulo de giro es igual al ángulo de rotación, y la bisectriz de dicho ángulo pasa por el centro de giro. Los giros de 360º transforman cualquier punto en el mismo; todos los puntos son dobles (es equivalente al giro nulo de 0º).

Homotecia (Dilatación)

Dada un punto fijo O y un número real k no igual a 0, se llama homotecia a la transformación geométrica que hace corresponder a un punto A otro punto A', siendo el vector OA' el producto de k por el vector OA. Al punto O se le llama centro de homotecia, y a la constante k, razón de la homotecia.

• Si k > 0: Los puntos A y A' están del mismo lado que O. La homotecia se dice que es directa o positiva.
• Si k < 0: Los puntos A y A' están a distinto lado que O. La homotecia se dice que es inversa o negativa.

Propiedades de la Homotecia:

• Si k = 1, todos los puntos del plano son dobles y la transformación es una identidad.
• Si k = -1, la transformación es una simetría central de centro O.
• Si el centro de homotecia se encuentra en el infinito y la razón k = 1, la correspondencia geométrica se transforma en una traslación.

Superficie Poliédrica y Poliedros

Una superficie poliédrica es un conjunto finito de polígonos, que se llaman caras de la superficie, y que cumplen estas dos condiciones:

1. Cada lado de una cara pertenece también a otra cara y solo a otra.
2. Ambas caras están en planos distintos.

Un poliedro es la porción finita del espacio delimitada por la superficie poliédrica. Un poliedro es convexo si el segmento que determinan dos puntos cualesquiera del mismo está totalmente contenido en el poliedro. Los vértices de las caras se denominan vértices del poliedro y los lados de los polígonos, aristas del poliedro.

Prismas

Los prismas son poliedros convexos que tienen dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases, y las restantes caras son caras laterales y son paralelogramos.

Clasificación de Prismas:

• Prismas regulares: Sus bases son polígonos regulares.
• Prismas irregulares: Sus bases son polígonos irregulares.
• Prismas rectos: Sus caras laterales son rectángulos o cuadrados.
• Prismas oblicuos: Sus caras laterales son rombos o romboides.
• Paralelepípedos: Prismas cuyas bases son paralelogramos.
• Ortoedros: Tienen todas sus caras rectangulares.

Según sus bases, pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc. La altura de un prisma es la distancia entre sus bases.

Pirámides

Las pirámides son poliedros convexos formados por un polígono que se denomina base y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común que se llama vértice de la pirámide.

Según sea la base, reciben el nombre de triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.

Clasificación de Pirámides:

• Regulares: Su base es un polígono regular y sus caras laterales son iguales.
• Irregulares: Su base es un polígono irregular o sus caras laterales no son iguales.
• Rectas: Todas sus caras laterales son triángulos isósceles.
• Oblicuas: Alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.
• Tronco de pirámide: (Implica una pirámide truncada por un plano paralelo a la base).