Conceptos Clave de Inferencia Estadística

1. Inferencia sobre la Media Poblacional (Varianza Desconocida)

De una población cuya variable X sigue una distribución Normal, de varianza desconocida, se extrae una muestra aleatoria simple de 40 observaciones:

b) Planteamiento de P(∑xi/40 ≤ 3)

Plantee la resolución de P(∑xi/40 ≤ 3):

P(∑xi/40 - μ / (s/√n) ≤ 3 - μ / (s/√n)) = P(Z ≤ 3 - μ / (s/√n)).

Nota: Aquí se asume que s es una estimación de la desviación estándar poblacional y que, para n=40 (muestra grande), la distribución del estadístico estandarizado se aproxima a una Normal estándar (Z). Para muestras pequeñas con varianza desconocida, se usaría la distribución t de Student.

c) Estadístico Muestral: Media y Varianza

Construido el estadístico: x̄ = ∑xi/40. Obtenga su media y su varianza e indique el modelo de distribución de probabilidad que sigue como variable aleatoria:

• Esperanza Matemática (Media) de x̄:
  E(x̄) = E(∑xi/40) = (1/40) E(∑xi) = (1/40) ∑ E(xi) = (1/40) (E(x₁) + ... + E(x₄₀)) = (1/40) * 40μ = μ.
• Varianza de x̄:
  Var(x̄) = Var(∑xi/40) = (1/40)² Var(∑xi). Si las observaciones son independientes, Var(∑xi) = ∑ Var(xi) = 40σ². Por lo tanto, Var(x̄) = (1/1600) * 40σ² = σ²/40.
• Distribución de x̄:
  Como la población original es Normal, la media muestral x̄ sigue una distribución Normal: x̄ ~ N(μ, σ²/n).

Como la varianza poblacional (σ²) es desconocida, se estima con la varianza muestral (s²). Para realizar inferencia (como en el punto b), se utiliza el estadístico t de Student: T = (x̄ - μ) / (s/√n), que sigue una distribución t con n-1 grados de libertad.

2. Contraste de Hipótesis Unilateral Derecho para la Media (Varianza Desconocida, Muestra Pequeña)

En una inferencia estadística, mediante contraste de hipótesis unilateral por la derecha, acerca del parámetro media de una población Normal con varianza desconocida, utilizando una muestra aleatoria simple de tamaño pequeño.

a) Regla de Decisión del Contraste

Indique analíticamente y gráficamente, la regla de decisión del contraste:

• Hipótesis:
  H₀: μ ≤ μ₀
  H₁: μ > μ₀
• Estadístico de Contraste:
  t_exp = (x̄ - μ₀) / (s/√n)
• Regla de Decisión (basada en el estadístico t):
  Dado un nivel de significancia α, se busca el valor crítico t_{n-1, 1-α} en la distribución t de Student con n-1 grados de libertad.
  
  • Si t_exp > t_{n-1, 1-α}: Se Rechaza H₀ y se Acepta H₁.
  • Si t_exp ≤ t_{n-1, 1-α}: Se Acepta H₀ y se Rechaza H₁.

(La representación gráfica implicaría dibujar la densidad de la distribución t y marcar la región de rechazo en la cola superior derecha, definida por el valor crítico t_{n-1, 1-α}).

b) Probabilidad del Error de Tipo I (α)

Indique la probabilidad del error de tipo II:

Nota: La pregunta pide el error de Tipo II (β), pero el desarrollo proporcionado calcula el error de Tipo I (α). A continuación, se corrige la definición de α y se presenta el cálculo mostrado.

• Hipótesis:
  H₀: μ ≤ μ₀
  H₁: μ > μ₀
• Definición de Error de Tipo I (α):
  α = P(Rechazar H₀ | H₀ es cierta)
• Cálculo de α (basado en el punto de corte Xc):
  La regla de decisión en términos de la media muestral X̄ es: Rechazar H₀ si X̄ ≥ Xc.
  α = P(X̄ ≥ Xc | μ = μ₀)

Estandarizando Xc bajo H₀ (μ = μ₀), obtenemos el valor crítico en la escala t:

(Xc - μ₀) / (s/√n) = t_{n-1, 1-α}

Despejando Xc:

Xc = t_{n-1, 1-α} * (s/√n) + μ₀

La regla de decisión en términos de X̄ es:

• Si X̄ ≥ Xc: Se Rechaza H₀ y se Acepta H₁.
• Si X̄ < Xc: Se Acepta H₀ y se Rechaza H₁.

(El cálculo de la probabilidad del error de Tipo II (β) requeriría especificar un valor alternativo para μ bajo H₁ y calcular la probabilidad de aceptar H₀ cuando H₁ es cierta para ese valor específico de μ).

3. Estadístico Muestral: Definición, Características y Propiedades

a) Definición de Estadístico Muestral

Estadístico Muestral: Es cualquier medida calculada a partir de los datos de una muestra. Una vez observadas las características de interés en la muestra, obtenemos unos valores llamados empíricos o experimentales que son los que nos van a permitir estudiar las características de interés de la población a través de la muestra.

Un estadístico es una variable aleatoria, ya que su valor depende de la muestra aleatoria seleccionada, y para cada muestra posible, el estadístico tomará un valor diferente.

En cada proceso de inferencia paramétrica, utilizamos la información de la muestra, resumida en un estadístico, para obtener conclusiones acerca de un parámetro poblacional desconocido (Θ).

Propiedades de la Esperanza Matemática y la Varianza

Indique los parámetros media y varianza de los estadísticos siguientes, así como su Esperanza Matemática y su Varianza:

• Esperanza Matemática (Media): E(X)
• Propiedades:
  E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)
  E(cX) = c * E(X) (donde c es una constante)

• Varianza: Var(X)
• Propiedades:
  Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) (si X e Y son variables aleatorias independientes)
  Var(cX) = c² * Var(X) (donde c es una constante)

Para una variable aleatoria X con distribución Normal N(μ, σ), su desviación estándar es D.e.(X) = √Var(X) = σ.

Para poder buscar probabilidades en tablas de la distribución Normal estándar, tipificamos la variable X:

Z = (X - μ) / σ

Esta variable tipificada Z sigue una distribución Normal estándar: Z ~ N(0, 1).