Conceptos Clave de Matemáticas: Logaritmos, Funciones y Cálculo Diferencial

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Logaritmos y Ecuaciones

• Propiedades de los Logaritmos:
  • Logaritmo de un producto: log_b(x * y) = log_b x + log_b y
  • Cambio de base: log_a b = log_c b / log_c a
  • Definición de logaritmo: log_a X = N implica a^N = X
  • Logaritmo de una potencia: log_x A = N implica x = A^(1/N) (la raíz N-ésima de A)
  • Logaritmo de 1: log_a 1 = 0
  • Logaritmo de la base: log_a a = 1
• Ecuaciones Logarítmicas:

  Se intenta aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación. Una vez simplificada, se elimina el logaritmo y se resuelve como una ecuación algebraica normal.

• Ecuaciones Exponenciales:

  Para resolverlas, se aplica el logaritmo (generalmente natural o base 10) a ambos lados de la ecuación. Después de aplicar las propiedades de los logaritmos, se despeja la incógnita. Si las bases son iguales, se pueden igualar los exponentes directamente.

• Sistemas de Ecuaciones No Lineales:

  Se resuelven comúnmente utilizando el método de sustitución, despejando una variable de una ecuación y sustituyéndola en la otra.

Propiedades de las Funciones

• Simetría y Periodicidad:

  Para determinar la simetría de una función f(x), se evalúa f(-x):

  • Si f(-x) = -f(x), la función es impar (simetría respecto al origen).
  • Si f(-x) = f(x), la función es par (simetría respecto al eje Y).
  • Si f(-x) es una función totalmente distinta, no es ni par ni impar.

  La periodicidad se refiere a funciones que repiten sus valores en intervalos regulares.

• Funciones Polinómicas:

  Para graficar, se puede crear una tabla de valores. Para encontrar los puntos de corte entre dos funciones, se igualan sus expresiones y se resuelve la ecuación resultante para encontrar los valores de 'x' en la intersección.

• Funciones Cuadráticas:

  Son parábolas. El vértice V(h, k) se calcula con la fórmula h = -b / (2a) y k = f(h) (o k = (4ac - b^2) / (4a)). Después de encontrar el vértice, se puede crear una tabla de valores para graficar la parábola.

• Interpolación y Extrapolación Lineal:

  La fórmula para la interpolación/extrapolación lineal (usando dos puntos (x0, y0) y (x1, y1)) es:

  f(x) = y0 + ((y1 - y0) / (x1 - x0)) * (x - x0)

• Funciones Racionales:

  Pueden presentar asíntotas (verticales, horizontales u oblicuas) y a menudo exhiben un comportamiento de "espejo" alrededor de estas asíntotas.

• Funciones Exponenciales:

  Su recorrido es (0, ∞) (o (k, ∞) si hay un desplazamiento vertical).

• Funciones Logarítmicas:

  Su recorrido es (-∞, ∞).

Cálculo Diferencial: Derivadas

Definición de Derivada en un Punto

La derivada de una función f(x) en un punto se define como el límite:

1. Calcular la diferencia: f(x+h) - f(x)
2. Dividir por h: (f(x+h) - f(x)) / h
3. Calcular el límite cuando h tiende a 0: lim (h→0) [(f(x+h) - f(x)) / h]

Derivadas de Funciones Elementales

• Regla de la Potencia: Para f(x) = x^n, la derivada es f'(x) = n * x^(n-1).
• Funciones Exponenciales:
  • Para f(x) = a^x, la derivada es f'(x) = a^x * ln a.
  • Para f(x) = e^x, la derivada es f'(x) = e^x.
• Funciones Logarítmicas:
  • Para f(x) = log_a x, la derivada es f'(x) = 1 / (x * ln a).
  • Para f(x) = ln x, la derivada es f'(x) = 1 / x.
• Funciones Trigonométricas:
  • Para f(x) = sen x, la derivada es f'(x) = cos x.
  • Para f(x) = cos x, la derivada es f'(x) = -sen x.
  • Para f(x) = tg x, la derivada es f'(x) = sec^2 x (o 1 / cos^2 x).
• Funciones Trigonométricas Inversas:
  • Para f(x) = arc sen x, la derivada es f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2).
  • Para f(x) = arc cos x, la derivada es f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2).
  • Para f(x) = arc tg x, la derivada es f'(x) = 1 / (1 + x^2).

Reglas de Derivación

• Derivada de una Suma/Resta:

  (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)

• Derivada del Producto por una Constante:

  (c * f(x))' = c * f'(x)

• Derivada de un Producto de Funciones:

  (f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

• Derivada de un Cociente de Funciones:

  (f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2

• Regla de la Cadena:

  Si y = f(u) y u = g(x), entonces dy/dx = dy/du * du/dx o (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).

  Ejemplos de aplicación de la Regla de la Cadena:

  • Para f(x) = (g(x))^n, la derivada es f'(x) = n * (g(x))^(n-1) * g'(x).
  • Para f(x) = a^(g(x)), la derivada es f'(x) = a^(g(x)) * ln a * g'(x).
  • Para f(x) = e^(g(x)), la derivada es f'(x) = e^(g(x)) * g'(x).
  • Para f(x) = log_a(g(x)), la derivada es f'(x) = g'(x) / (g(x) * ln a).
  • Para f(x) = ln(g(x)), la derivada es f'(x) = g'(x) / g(x).
  • Para f(x) = sen(g(x)), la derivada es f'(x) = cos(g(x)) * g'(x).
  • Para f(x) = cos(g(x)), la derivada es f'(x) = -sen(g(x)) * g'(x).
  • Para f(x) = tg(g(x)), la derivada es f'(x) = sec^2(g(x)) * g'(x).
  • Para f(x) = arc sen(g(x)), la derivada es f'(x) = g'(x) / sqrt(1 - (g(x))^2).
  • Para f(x) = arc cos(g(x)), la derivada es f'(x) = -g'(x) / sqrt(1 - (g(x))^2).
  • Para f(x) = arc tg(g(x)), la derivada es f'(x) = g'(x) / (1 + (g(x))^2).