Conceptos Clave de Matemáticas: Operaciones y Problemas Comunes

Conceptos Clave de Matemáticas

Operaciones Matemáticas

• Cuadrado de una suma:
• Cuadrado de una diferencia:
• Suma por diferencia:
• Decimal exacto: cuando el número de cifras decimales es infinito.
• Números: Naturales (N); Enteros (Z) (-2, -1, 0, +1, +2); Racionales (Q): {?; ¾, etc. además de los N y Z}; Irracionales (R) {? y los anteriores}.
• Error absoluto: E = N - n;
• Error relativo:

Logaritmos

• Logaritmo: En base positiva y distinta de uno, de número x, a otro número y que es el exponente al que hay que elevar la base (a) para reproducir el número dado x; se escribe:
• Logaritmo de un producto:
• Logaritmo de un cociente:
• Logaritmo de una potencia:
• Logaritmo de una raíz:

Porcentajes

• Para aumentar: C + 0,08 x C = (1 + 0,08) x C = 1,08 x C
• Para disminuir: C - 0,08 x C = (1 - 0,08) x C = 0,92 x C

Interés Simple

i = 2000 x 0,04 = 80

Problemas Matemáticos

1. Problema del Ganadero

Un ganadero vende los 3/5 de los corderos que tiene. A continuación, compra 50, con lo que se queda con 40 corderos menos de los que tenía al principio:

• X los corderos que tenía;
• X - 3X/5 = 2X/5 los corderos que le quedan.
• 2X/5 + 50 = X - 40 = 2X + 250/5 = X - 40
• 2X + 250 = 5X - 200
• -3X = -450 = X = 150

2. Problema del Trayecto

Un trayecto se realiza en tres etapas: en la 1ª se recorren 3/5 del trayecto, en la 2ª 1/4 del resto y en la última los 12 km restantes. ¿Cuál es la longitud total del trayecto?

• Sea X la longitud del trayecto: 3X/5 recorre en la 1ª etapa.
• 1/4 * 2X/5 = 2X/20 = X/10
• X = 3X/5 + X/10 + 12 = 6X + X + 120/10 = 10X;
• 7X + 120 = 3X = 120; X = 120/3 = 40

3. Problema de Distribución de Objetos

Para distribuir un lote de objetos se da igual número de ellos a cada uno de las 15 personas presentes; pero llega una persona más y hay que dar un objeto menos, sobrando ahora 11. Calcula los objetos del lote y los que corresponden a cada persona presente al final.

• Sea X los objetos e Y los que corresponden a las personas presentes al principio.
• X = 15Y
• 15Y = 16(Y - 1) + 11
• X = 16(X - 1) + 11
• 15Y = 16Y - 16 + 11
• -Y = -5
• 14Y - 16Y = -16 + 11
• Y = 5
• X = 15 * 5 = 75 Corresponden 4 a cada uno y sobran 11.

4. Problema del Paseo en Coche

Una persona dispone de dos horas para dar un paseo en coche. ¿Qué distancia podrá recorrer sabiendo que a la ida la velocidad del coche es de 80 km/h y sin detenerse regresa a 120 km/h?

• Sea T el tiempo que tarda en la ida. 2 - T tardará en el regreso.
• 80T = 120(2 - T)
• 80T = 240 - 120T
• 200T = 240
• T = 240/200 = 6/5
• 80 * 6/5 = 96
• 96 * 2 = 192 km podrá recorrer.

5. Problema del Rectángulo

La base de un rectángulo es 6 cm mayor que la altura. Si la base crece 4 cm y la altura disminuye en 2 cm, el área crece 8 cm². Calcula sus dimensiones.

• Sea X la altura y la base X + 6.
• Dimensiones del 2º rectángulo: X + 10 la base y X - 2 la altura.
• (X - 2)(X + 10) = X(X + 6) + 8
• X² + 8X - 20 = X² + 6X + 8
• 2X = 28
• X = 14 la altura
• 14 + 6 = 20 la base

6. Problema de Suma y Producto

La suma de dos números es 24 y su producto 135. Calcula dichos números.

• Sea X un número, el otro será 24 - X.
• (24 - X)X = 135; X² - 24X + 135 = 0

7. Problema del Rectángulo con Perímetro y Área

Calcula las dimensiones de un rectángulo que tiene un perímetro de 24 cm y área de 35 cm².

• Área = X(12 - X) = 35; X² - 12X + 35 = 0
• Resuelve por fórmula y da 7 y 5.
• Área = b.a; si la altura es X, la base es 12 - X.

8. Problema del Campo Rectangular

Se desea cercar un campo rectangular con 1200 m de alambre. Un río corre a lo largo de un lado del campo y no es necesario vallarlo. Sabiendo que el área del campo es de 160000 m², ¿qué dimensiones tiene el campo?

• X + 2Y = 1200; X = 1200 - 2Y
• XY = 160000; (1200 - 2Y)Y = 160000
• 2Y² - 1200Y + 160000 = 0
• Sabemos Y = 200 o Y = 400. Las soluciones serán X = 800 m e Y = 200 o bien X = 400 e Y = 400.