Conceptos Clave de Matemáticas: Teoremas y Factorización

Conceptos Matemáticos Fundamentales

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas: Es una combinación de números, letras (o letras y números) vinculados entre sí por un número finito de operaciones matemáticas.

Valor Numérico de una Expresión Algebraica

Valor Numérico de una Expresión Algebraica: Es el valor que adopta el polinomio al reemplazar la indeterminada por un número real.

Grado de un Polinomio

Grado de un Polinomio: Lo determina el mayor exponente de la indeterminada.

Regla de Ruffini

Regla de Ruffini: Se aplica cuando el divisor es un binomio de grado 1 y coeficiente principal 1 (de la forma x - a).

Factor Común

Factor Común: Se extraen de la expresión aquellos factores que son comunes a todos los términos.

Factor Común por Grupo

Factor Común por Grupo: La expresión a factorizar debe tener un número par de términos.

Ejemplo de Factor Común por Grupo

A² + AB + Ax + Bx:

(A² + AB) + (Ax + Bx)

A(A + B) + X(A + B)

(A + B)(A + X)

Trinomio Cuadrado Perfecto

Trinomio Cuadrado Perfecto: El polinomio a factorizar debe tener 3 términos que cumplan las condiciones del trinomio cuadrado perfecto y así expresarlo como el cuadrado de un binomio.

Ejemplo de Trinomio Cuadrado Perfecto

X² + 10X + 25:

Bases: X y 5

Verificación: 2 * X * 5 = 10X

Factorización: (X + 5)²

Cuatrinomio Cubo Perfecto

Cuatrinomio Cubo Perfecto: Como hemos visto, el cubo de un binomio se transforma en un cuatrinomio con determinadas características.

Ejemplo de Cuatrinomio Cubo Perfecto

8 - 12a² + 6a⁴ - a⁶:

Bases: 2 y -a²

Verificación 1: 3 * (2)² * (-a²) = -12a²

Verificación 2: 3 * 2 * (-a²)² = 6a⁴

Factorización: (2 - a²)³

Diferencia de Cuadrados

Diferencia de Cuadrados: El polinomio a factorizar debe ser una resta de dos términos cuadrados perfectos.

Ejemplos de Diferencia de Cuadrados

A² - B²: (A + B)(A - B)

9X¹⁰ - X¹⁴: (3X⁵ + X⁷)(3X⁵ - X⁷)

Suma o Diferencia de Potencias de Igual Exponente

Suma o Diferencia de Potencias de Igual Exponente: El polinomio debe presentar dos términos sumados o restados elevados a un mismo exponente.

Ejemplo de Suma de Potencias de Igual Exponente

x⁵ + 32:

x⁵ + 2⁵

Para factorizar, se utiliza la regla de Ruffini.