Conceptos Clave de Matrices: Rango, Jordan y Determinantes

Rango de una Matriz

• El rango de una matriz es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.
• El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).
• El rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.

Cálculo del Rango de una Matriz por el Método de Gauss

Podemos descartar una línea si:

• Todos sus coeficientes son cero.
• Hay dos líneas iguales.
• Una línea es proporcional a otra.
• Una línea es combinación lineal de otras.

Matrices Especiales

Matriz Escalonada

• Es aquella que tiene como primer elemento diferente de 0 de cada renglón el elemento unidad (1) y los elementos debajo de este deben ser 0.

Formas Especiales de Matrices

• Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida.

Propiedades de una Matriz Escalonada

Una matriz puede tener las siguientes propiedades:

• Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.
• Para un grafo no dirigido la matriz de adyacencia es simétrica.
• El elemento delantero de cada fila diferente de cero, este es llamado "pivote"; estos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).

Si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice escalonada.

Discusión de Sistemas con Matriz Escalonada Reducida

Una vez que la matriz del sistema se ha transformado hasta obtener una matriz escalonada reducida es muy fácil discutirlo (es decir, determinar cuántas soluciones tiene):

• Cuando aparece un pivote en la columna de los términos independientes el sistema es incompatible (no tiene ninguna solución).
• En otro caso el sistema es compatible. Si además el número de pivotes coincide con el número de incógnitas el sistema es compatible determinado (tiene una única solución). Cuando el número de pivotes es menor que el número de incógnitas el sistema es indeterminado (tiene infinitas soluciones que dependen de tantos parámetros como indique la diferencia entre el número de incógnitas y el número de pivotes).

Matriz de Adyacencia

• La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada que se utiliza como una forma de representar relaciones binarias.
• El número de caminos C_i,j(k), atravesando k aristas desde el nodo i al nodo j, viene dado por un elemento de la potencia k-ésima de la matriz de adyacencia.

Forma Canónica de Jordan

• Es una matriz triangular por bloques de Jordan, cuyo número y tamaño están determinados por el endomorfismo h.

Proceso de Construcción de la Forma de Jordan

El proceso para encontrar la matriz de Jordan y la base de Jordan correspondiente puede ser el siguiente:

• Calcular valores propios con su multiplicidad.
• Realizar la partición de multiplicidades de cada uno de los valores propios (es decir, encontrar cuántos bloques de Jordan y de qué tamaño hay para cada valor propio, o también, encontrar cuántas cadenas hay y de qué tamaño son).
• Encontrar la matriz de Jordan (se sugiere ordenar los bloques de Jordan de mayor a menor tamaño, primero los complejos).

Determinante

• Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas.

Propiedades de la Suma y Diferencia de Matrices

• a) Conmutativa: a+b = b+a
• b) Asociativa: a+(b+c) =(a+b) +c
• c) Elemento neutro
• d) Elemento opuesto