Conceptos Clave de Optimización y Cálculo Multivariable

Optimización y Cálculo Multivariable: Conceptos Fundamentales

1. Optimización con Restricciones: Método de Lagrange

La función objetivo se define como P(x,y) = (x-y)².

Sujeto a la restricción: x² - y³ = 0.

1.1. Puntos Estacionarios y Multiplicadores de Lagrange

Para encontrar los puntos estacionarios, se construye la función Lagrangiana L(x,y,λ). Si hay múltiples restricciones, se añaden tantos multiplicadores λ como restricciones existan. En este caso, L(x,y,λ) = (x-y)² + λ(-x² + y³).

Se calculan las derivadas parciales de L con respecto a x, y, y λ, y se igualan a cero. Los puntos obtenidos se sustituyen para encontrar los valores de λ. El multiplicador asociado es λ.

1.2. Clasificación de Puntos Estacionarios: Matriz Hessiana

Para determinar si un punto es un máximo o un mínimo, se utiliza la matriz Hessiana de la función objetivo (sin incluir λ). Se calculan sus autovalores.

1.2.1. Clasificación por Menores Principales

• Definida Positiva (DP): Indica un mínimo y la función es convexa. Se cumple si A₁ > 0 y Aₙ > 0 (todos los menores principales son positivos).
• Semidefinida Positiva (SDP): Indica un mínimo y la función es convexa. Se cumple si A₁ > 0, A₂ > 0, y Aₙ = 0 (algunos menores principales son cero, pero los demás son positivos).
• Definida Negativa (DN): Indica un máximo y la función es cóncava. Se cumple si A₁ < 0, A₂ > 0, A₃ < 0, etc. (los menores principales alternan de signo, empezando por negativo).
• Semidefinida Negativa (SDN): Indica un máximo y la función es cóncava. Se cumple si A₁ < 0, A₂ > 0, y Aₙ = 0 (algunos menores principales son cero, pero los demás alternan signo correctamente).
• Si ninguno de estos casos se cumple, la matriz es indefinida, y el punto es un punto de silla.

Nota: Si el primer o segundo menor principal es cero, se deben calcular los autovalores directamente para la clasificación.

1.2.2. Clasificación por Autovalores

• Definida Positiva (DP): Todos los autovalores (λ) son > 0.
• Semidefinida Positiva (SDP): Todos los autovalores (λ) son ≥ 0.
• Definida Negativa (DN): Todos los autovalores (λ) son < 0.
• Semidefinida Negativa (SDN): Todos los autovalores (λ) son ≤ 0.
• Indefinida: Existen autovalores > 0 y < 0.

1.3. Procedimiento Adicional para Clasificación (Casos SDP, SDN, Indefinida)

Si la clasificación de la Hessiana resulta en SDP, SDN o indefinida, se debe realizar un análisis adicional:

1. Calcular el gradiente de la restricción g(x,y) = x² - y³. Por ejemplo, ∇g(x,y) = (2x, -3y²).
2. Evaluar el gradiente en el punto de interés. Por ejemplo, para el punto (1,1), ∇g(1,1) = (2, -3).
3. Multiplicar el gradiente por un vector (u, v) en columna: (2, -3) ⋅ (u, v)ᵀ = 2u - 3v = 0. Despejar una variable, por ejemplo, v = (2/3)u.
4. Formar la forma cuadrática con la Hessiana evaluada en el punto y el vector (u, v): (u, v) ⋅ H(1,1) ⋅ (u, v)ᵀ.
5. Sustituir la expresión de v (o u) en la forma cuadrática y clasificar el resultado.

2. Conjunto Factible y Convexidad

Un conjunto factible (o conjunto de oportunidades) debe cumplir todas las restricciones. Para verificarlo, se sustituye el punto en las restricciones. También se calcula el valor de la función objetivo en ese punto.

Un conjunto es convexo si, para cualquier par de puntos dentro del conjunto, el segmento de recta que los une también está completamente dentro del conjunto. Un conjunto factible es convexo si las restricciones son lineales (no contienen términos al cuadrado, al cubo, etc.).

3. Dominio y Continuidad de Funciones

3.1. Dominio de una Función

El dominio de una función se define por las siguientes restricciones:

• No puede haber una división por cero.
• No puede haber raíces negativas (solo raíces de cero o positivas).
• No puede haber logaritmos de cero ni de números negativos.

3.2. Continuidad de una Función

Una función es continua en un punto si cumple tres condiciones:

1. La función existe en el punto (ej. f(0,0) = 0).
2. El límite de la función existe cuando (x,y) tiende al punto (ej. lim (x,y)→(0,0) f(x,y) = 0).
3. La primera y segunda condiciones coinciden.

Si no hay "llaves raras" (funciones definidas a trozos con diferentes expresiones), la función suele ser continua en su dominio.

4. Derivada Direccional

La derivada direccional de una función f en un punto a en la dirección de un vector v se calcula como el producto escalar del gradiente de f en a por el vector unitario de v.

D_v f(a) = ∇f(a) ⋅ (v / ||v||)

Para obtener el vector unitario, se calcula la norma (módulo) del vector v (raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado) y se divide cada componente del vector por su norma.

5. Conceptos Geométricos Básicos

La ecuación de un círculo es (x-a)² + (y-b)² = r², donde (a,b) es el centro y r es el radio. El radio es la raíz cuadrada del término independiente.

6. Propiedades de Conjuntos

• Un conjunto es cerrado si coincide con su adherencia (el contorno está incluido).
• Un conjunto es abierto si coincide con su interior (el contorno no pertenece al interior, representado por una línea discontinua).
• Un conjunto es acotado si puede ser contenido dentro de una bola de radio finito.
• Un conjunto es compacto si es cerrado y acotado.

7. Tipos de Integrales Dobles

• Tipo 1 (Vertical): La integración se realiza primero con respecto a y (límites de y en función de x), y luego con respecto a x. La diferencial dx queda fuera.
• Tipo 2 (Horizontal): La integración se realiza primero con respecto a x (límites de x en función de y), y luego con respecto a y. La diferencial dy queda fuera.

Si se integra primero con respecto a y, las variables x se tratan como constantes y pueden sacarse fuera de la integral. La integral de dy es y.