Conceptos Clave de Probabilidad, Semejanza y Radicales: Ejemplos y Teoremas

Probabilidad

Conceptos Fundamentales

• Experimento aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir antes de realizarlo, aunque sí se conoce el conjunto de resultados posibles.
• Espacio muestral (E): Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
• Cardinal de E (|E|): Número de elementos del espacio muestral.
• Suceso: Subconjunto del espacio muestral. Un suceso elemental ocurre si el resultado del experimento pertenece a ese suceso. Existen sucesos con nombres específicos, como "salir par".
• Suceso elemental: Suceso que contiene solo un elemento.

Operaciones con Sucesos

• Unión de sucesos (A ∪ B): Suceso formado por los elementos de A y B (comunes y no comunes).
• Intersección de sucesos (A ∩ B): Suceso formado por los elementos comunes a A y B.
• Sucesos contrarios (o complementarios): El suceso contrario de A (denotado a menudo como A') contiene todos los elementos de E que no están en A.
• Sucesos incompatibles: Dos sucesos son incompatibles si no tienen ningún elemento en común (su intersección es vacía).

Cálculo de Probabilidades

• Regla de Laplace: Aplicable cuando los sucesos elementales del espacio muestral son equiprobables (tienen la misma probabilidad de ocurrir). La probabilidad de un suceso S se calcula como:

P(S) = (Número de elementos de S) / (Número de elementos del espacio muestral) = |S| / |E|

Semejanza

Figuras Semejantes

• Definición: Figuras que tienen la misma forma pero diferente tamaño.
• Lados correspondientes: Deben ser proporcionales.
• Razón de semejanza: Cociente entre las longitudes correspondientes de dos figuras semejantes.
• Razón entre superficies: Cociente entre las áreas de dos figuras semejantes.

Teorema de Tales

Si tres rectas paralelas (a, b y c) cortan a otras dos rectas (r y s), los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

El teorema de Tales es fundamental para el estudio de la semejanza de triángulos.

Criterios de Semejanza de Triángulos

Condiciones que, al cumplirse, garantizan que dos triángulos son semejantes.

1. Primer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales (A = A' y B = B').
2. Segundo criterio: Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales (a/a' = b/b' = c/c').
3. Tercer criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales (A = A' y b'/b = c'/c).

Teoremas del Cateto y de la Altura

• Teorema del cateto: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. (b² = a * m y c² = a * n).
• Teorema de la altura: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa (h² = m * n).

Radicales

Raíz Enésima

• Raíz n-ésima de a (ⁿ√a): Es un número 'b' tal que bⁿ = a.
• Caso a > 0: La raíz n-ésima de 'a' existe para cualquier valor de 'n'.
• Caso a < 0: Solo existen las raíces de índice impar.

Racionalización de Denominadores

Proceso para transformar una expresión radical con raíces en el denominador en otra equivalente sin raíces en el denominador.