Conceptos clave de probabilidad y variables aleatorias

Concepto frecuentista de probabilidad

Se entiende por probabilidad frecuentista que, cuantas más veces se repita un experimento, al final las posibilidades de que ocurra cada uno de los sucesos se regularizarán. Aunque cualquier comportamiento sea aleatorio, por proceso empírico llegaremos a una regularidad.

Definición axiomática de probabilidad

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.

Regla de Laplace

Si los sucesos elementales observables tienen todos la misma probabilidad (equiprobables), entonces la probabilidad de cualquier suceso A se obtiene como el cociente entre el número de resultados favorables al suceso A y el número total de sucesos elementales posibles.

Definición de probabilidad condicionada e independencia de sucesos

Se podrá preguntar tanto su definición teórica como el cálculo de probabilidades condicionadas en algún caso sencillo como los vistos en clase.

• Probabilidad condicional: es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B.
• Independencia de sucesos: dado dos sucesos, se dice que A es independiente de B si, al conocer que B ha ocurrido, la probabilidad de A es la misma que se tenía inicialmente.

Partición de un espacio muestral. Teorema de la probabilidad total. Regla de Bayes

Se podrá preguntar tanto el enunciado de los teoremas como el cálculo de probabilidades mediante alguno de los dos teoremas, en casos sencillos como los vistos en clase.

• Teorema de la probabilidad total: Sea A un suceso cualquiera de un espacio muestral Ω y {B_i}_i∈I una partición de Ω tal que P(B_i) > 0, ∀i. Entonces, P(A) = Σ_i∈I P(A|B_i)P(B_i).
• Regla de Bayes: Sean A y B sucesos cualesquiera con P(A) > 0, P(B) > 0. Sea {B_i}_i∈I una partición del espacio muestral tal que P(B_i) > 0, ∀i. Entonces, P(B|A) = P(B)P(A|B) / Σ_i∈I P(A|B_i)P(B_i).

Definición de variable aleatoria. Tipos de variables

Llamaremos variable aleatoria X definida sobre el espacio muestral a toda aplicación.

• Diremos que una variable aleatoria X es discreta si el conjunto imagen de Ω por X es discreto.
• Diremos que una variable aleatoria X es continua si el conjunto imagen de Ω por X es un intervalo o unión de intervalos de la recta real.

Definición de función de distribución. Propiedades

Se define la función de distribución de la variable aleatoria X como: F : ℝ → [0, 1], donde x ↦ F(x) = P(X ≤ x).

Propiedades de la función de distribución:

1. F es creciente.
2. F(-∞) = 0 y F(+∞) = 1.
3. P(X > x) = 1 - F(x).
4. P(x < X ≤ y) = F(y) - F(x).

Definición de función puntual de probabilidad. Propiedades

Se define la función puntual de probabilidad como: p_i ≡ P[X = x_i].

Propiedades de la función puntual de probabilidad:

1. Σ_i=1^∞ p_i = 1.
2. Dado x ≠ x_i para todo i, entonces P(X = x) = 0.
3. F(x) = Σ_xi≤x p_i.
4. p_i = F(x_i) - F(x_i-1).