Conceptos Clave de Variables Aleatorias y Probabilidad

Conceptos Fundamentales de Variables Aleatorias

En el estudio de una Variable Aleatoria (V.A.):

• Si su función de densidad es campaniforme, indica que es más fácil encontrar valores intermedios que pequeños o grandes.
• Una variable aleatoria discreta toma un número finito o un número infinito numerable de valores (como la distribución de Poisson).
• La probabilidad de que una N(0,1) sea mayor que cero es 0.5.
• La probabilidad de que una variable aleatoria bidimensional continua tome valores en un intervalo es un volumen bajo una superficie.

Propiedades de Esperanza y Varianza

Para Variables Aleatorias (V.A.):

• La esperanza de la suma de V.A. coincide con la suma de esperanzas siempre.
• La esperanza del producto de V.A. coincide con el producto de esperanzas si las V.A. son independientes.
• La esperanza de la diferencia de V.A. coincide con la…….
• La esperanza de una variable Poisson coincide con su varianza.
• La esperanza de una constante es la propia constante.
• La varianza de una V.A. discreta se calcula como el momento de orden 2 respecto al origen menos el cuadrado del momento de orden 1 respecto al origen.
• La varianza de un producto de variables aleatorias independientes coincide con el producto de sus momentos de orden dos respecto del origen menos el producto de los cuadrados de sus esperanzas.
• La varianza de la diferencia de V.A. coincide con la suma de varianzas si las V.A. son independientes.
• La varianza de una suma de V.A. independientes es la suma de las varianzas de dichas V.A.
• La varianza de una constante es nula.

Tipos de Distribuciones y Propiedades de Probabilidad

• Una V.A. que indica el tiempo (o el espacio) transcurrido hasta la aparición de los k primeros éxitos en ensayos dicotómicos independientes se distribuye como una distribución Gamma.
• Una V.A. que indica el número de fracasos antes de los r primeros éxitos en ensayos dicotómicos independientes se distribuye como una distribución Binomial Negativa.
• Una V.A. que indica el número de éxitos en n ensayos dicotómicos independientes se distribuye como una distribución binomial.
• Una V.A. que puede tomar todos los valores de un intervalo infinito y todos con la misma probabilidad se distribuye como una distribución uniforme.
• La distribución geométrica expresa el número de fracasos hasta el primer éxito en un fenómeno de Bernoulli con independencia.
• La función de distribución conjunta de dos V.A. independientes es el producto de las funciones de distribución marginales.
• La función de densidad conjunta de dos V.A. independientes es el producto de las funciones de densidad marginales.
• Si dos V.A. continuas son independientes, entonces la función de densidad conjunta coincide con el producto de las dos marginales.
• Si dos V.A. son independientes, la función de distribución conjunta coincide con el producto de las dos marginales.
• En el estudio de una V.A., si su función de densidad es creciente, indica que la probabilidad de que la V.A. tome valores grandes es mayor que la probabilidad de que tome valores menores.
• La probabilidad del suceso complementario es uno menos la probabilidad del suceso.
• Dados dos sucesos, la probabilidad de que ocurra uno de ellos condicionado a que ha ocurrido el otro es la probabilidad de que ocurran los dos a la vez partido por la probabilidad del que condiciona.
• La probabilidad de que ocurran varios sucesos independientes a la vez es el producto de las probabilidades de que ocurran cada uno de ellos.