Conceptos Esenciales de Álgebra y Geometría Analítica

Conceptos Fundamentales de Álgebra y Geometría Analítica

Este documento presenta una síntesis de conceptos clave en álgebra, trigonometría y geometría analítica, enfocándose en expresiones polinómicas, funciones lineales y sistemas de ecuaciones.

Expresiones Algebraicas Polinómicas

Una expresión algebraica es una combinación de números y/o letras (variables) ligados entre sí mediante operaciones como la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Definición de Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica en la que las variables no están afectadas por una raíz ni aparecen como divisores (es decir, no tienen exponentes negativos o fraccionarios). Estas expresiones siempre son enteras.

Tipos de Polinomios según el Número de Términos

Existen diferentes tipos de polinomios, clasificados según la cantidad de términos que los componen:

• Monomio: Un solo término (ej. 3x²).
• Binomio: Dos términos (ej. 2x + 5).
• Trinomio: Tres términos (ej. x² - 4x + 7).
• Cuatrinomio: Cuatro términos (ej. x³ + 2x² - x + 1).
• Polinomio: Cinco o más términos (o el término general para cualquier número de términos).

Conceptos Clave en Polinomios

• Términos Semejantes: Son aquellos que tienen la misma variable y el mismo exponente.
  Ejemplos: 4X², 1/2X², X².
• Grado de un Polinomio: Es el mayor exponente que se encuentra entre las variables de los términos con coeficientes no nulos de un polinomio.
• Coeficiente Principal: Es el coeficiente que multiplica a la variable de mayor exponente en un polinomio.
• Término Independiente: Es el término que no contiene ninguna variable (es decir, es una constante).

Clasificación de Polinomios

• Polinomio Normalizado: Un polinomio es normalizado cuando su coeficiente principal es 1.
• Polinomio Ordenado y Completo: Un polinomio está ordenado cuando sus términos están dispuestos de forma creciente o decreciente según las potencias de la variable. Un polinomio es completo cuando contiene todas las potencias de la variable desde el grado máximo hasta el término independiente (grado cero).

Casos de Factorización

La factorización es el proceso de expresar un polinomio como un producto de polinomios más simples. Los casos más comunes incluyen:

• Factor Común
• Factor Común por Grupos
• Trinomio Cuadrado Perfecto: Si un trinomio no es cuadrado perfecto, se puede utilizar la fórmula resolvente (también conocida como fórmula de Báscara) para encontrar sus raíces y, por ende, sus factores.
• Cuatrinomio Cubo Perfecto
• Diferencia de Cuadrados
• Suma y Resta de Potencias de Igual Grado:
  • Si n es par, se puede aplicar la diferencia de cuadrados repetidamente.
  • Si n es impar:
    • (aⁿ + bⁿ) es divisible por (a + b). Se puede realizar la división sintética (Regla de Ruffini).
    • (aⁿ - bⁿ) es divisible por (a - b). También se puede realizar la división sintética (Regla de Ruffini).

Trigonometría Básica

Para calcular los lados de un triángulo rectángulo, se utiliza el Teorema de Pitágoras:

h² = C₁² + C₂² (donde h es la hipotenusa y C₁, C₂ son los catetos).

Fórmulas de Superficie (Área)

• Triángulo: (base × altura) / 2
• Cuadrado: lado²
• Rectángulo: base × altura

Funciones Lineales

Una función lineal se representa gráficamente como una línea recta y su forma general es Y = aX + b.

Formas de Ecuación de la Recta

• Ecuación Explícita (Forma Polinómica): Y = aX + b
  • Y: Variable dependiente
  • X: Variable independiente
  • a: Pendiente de la recta
  • b: Ordenada al origen
• Ecuación Segmentaria: X/m + Y/n = 1
  • n: Ordenada al origen (punto de corte con el eje Y)
  • m: Raíz (punto de corte con el eje X)

Conceptos Gráficos Clave

• Ordenada al Origen: Es el valor de Y cuando X = 0. Gráficamente, es el punto donde la recta corta al eje Y. Coincide con el valor de b en la ecuación explícita.
• Raíz (o Abscisa al Origen): Es el valor de X cuando Y = 0. Gráficamente, es el punto donde la recta corta al eje X.
• Pendiente: Es el número que multiplica a la variable X en la ecuación explícita (a). Indica la inclinación de la recta.

Comportamiento de la Función Lineal según la Pendiente (a)

La pendiente determina si la función es creciente, decreciente o constante:

• Creciente: Si a > 0 (pendiente positiva).
• Decreciente: Si a < 0 (pendiente negativa).
• Constante: Si a = 0 (no hay pendiente, la recta es horizontal).

Relación entre Rectas

• Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.
• Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1 (es decir, una pendiente es la opuesta e inversa de la otra).

Determinación de la Ecuación de una Recta

• A partir de un punto y la pendiente: Y - Y₁ = a(X - X₁)
• A partir de dos puntos: (Y - Y₁) / (Y₂ - Y₁) = (X - X₁) / (X₂ - X₁)

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales con las mismas variables. La solución de un sistema es el conjunto de valores que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

Clasificación de Sistemas de Ecuaciones

• Sistemas Compatibles (tienen solución):
  • Determinados: Tienen una única solución. Gráficamente, las rectas se intersecan en un solo punto (ej. (-1; 2)).
  • Indeterminados: Tienen infinitas soluciones. Gráficamente, las rectas son coincidentes (una "línea" sobre la otra, ej. al simplificar se obtiene 0=0 o 1=1).
• Sistemas Incompatibles (no tienen solución):
  • Gráficamente, las rectas son paralelas y distintas. No hay puntos de intersección (ej. al simplificar se obtiene 0=7 o 6=3, lo cual es una contradicción).

Método de Igualación

El método de igualación es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales:

1. Despejar la misma variable (por ejemplo, Y) en ambas ecuaciones del sistema.
2. Igualar las expresiones despejadas para esa variable. Esto resultará en una ecuación con una sola variable (por ejemplo, X), la cual se puede despejar.
3. Sustituir el valor encontrado de la primera variable (X) en cualquiera de las ecuaciones despejadas del paso 1 para encontrar el valor de la segunda variable (Y).