Conceptos Esenciales de Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales y Transformaciones

Conceptos Fundamentales de Espacios Vectoriales

Espacio Vectorial

Sea E un conjunto y K un cuerpo. Se dice que E es un espacio vectorial sobre K si hay definidas dos operaciones:

• Suma de vectores (operación interna): +: E × E → E, tal que (e, e') ↦ e + e'.
• Producto de un vector por un escalar (operación externa): ·: K × E → E, tal que (h, e) ↦ h · e (o simplemente he).

Estas operaciones deben cumplir las siguientes propiedades:

Propiedades de la Suma de Vectores:

• Asociativa: e + (e' + e'') = (e + e') + e'' para todo e, e', e'' ∈ E.
• Conmutativa: e + e' = e' + e para todo e, e' ∈ E.
• Elemento Neutro: Existe un único vector nulo 0_E ∈ E tal que e + 0_E = 0_E + e = e para todo e ∈ E.
• Elemento Simétrico (Opuesto): Para cada e ∈ E, existe un único vector -e ∈ E tal que e + (-e) = (-e) + e = 0_E.

Propiedades del Producto por un Escalar:

1. Distributividad respecto a la suma de vectores: h · (e + e') = h · e + h · e' para todo e, e' ∈ E y h ∈ K.
2. Distributividad respecto a la suma de escalares: (h + m) · e = h · e + m · e para todo e ∈ E y h, m ∈ K.
3. Asociatividad mixta: h · (m · e) = (h · m) · e para todo e ∈ E y h, m ∈ K.
4. Elemento Neutro del producto: 1 · e = e para todo e ∈ E, donde 1 es el elemento neutro multiplicativo del cuerpo K.

Subespacio Vectorial

Sea E un K-espacio vectorial y E' ⊆ E un subconjunto de E. Se dice que E' es un subespacio vectorial de E si las operaciones de E son también operaciones en E', y con ellas, E' es también un K-espacio vectorial.

Combinación Lineal

Sea E un K-espacio vectorial y e₁, e₂, ..., e_n ∈ E. Se llama combinación lineal de los vectores e₁, e₂, ..., e_n a todo vector e de la forma e = h₁e₁ + ... + h_ne_n, donde h₁, ..., h_n ∈ K son escalares cualesquiera.

Propiedades de las Transformaciones Lineales

Demostración del Núcleo (Ker f)

Sean u, v ∈ Ker(f). Debemos verificar si para todo h, m ∈ K se cumple que hu + mv ∈ Ker(f).

Como u ∈ Ker(f) y v ∈ Ker(f), por definición, tenemos que f(u) = 0_E' y f(v) = 0_E' (donde 0_E' es el vector nulo del espacio vectorial de llegada E').

Por ser f una aplicación lineal, se cumple:

f(hu + mv) = hf(u) + mf(v)

Sustituyendo los valores de f(u) y f(v):

f(hu + mv) = h(0_E') + m(0_E') = 0_E' + 0_E' = 0_E'

Por lo tanto, hu + mv ∈ Ker(f).

Demostración de la Imagen (Im f)

Sean u, v ∈ Im(f). Debemos verificar si para todo h, m ∈ K se cumple que hu + mv ∈ Im(f).

• Como u ∈ Im(f), existe un vector e₁ ∈ E de modo que f(e₁) = u.
• Como v ∈ Im(f), existe un vector e₂ ∈ E de modo que f(e₂) = v.

Consideremos la expresión hu + mv. Sustituyendo u y v:

hu + mv = hf(e₁) + mf(e₂)

Por ser f una aplicación lineal, podemos escribir:

hu + mv = f(he₁ + me₂)

Por lo tanto, existe un vector w = he₁ + me₂ ∈ E tal que f(w) = hu + mv. Esto significa que hu + mv ∈ Im(f) al ser la imagen de un vector de E.

Relación entre Dimensión y Tipo de Transformación Lineal

Sea f: E → E' una transformación lineal:

• Si f es inyectiva (monomorfismo), entonces dim(E) ≤ dim(E').
• Si f es epiyectiva (sobreyectiva o epimorfismo), entonces dim(E) ≥ dim(E').
• Si f es biyectiva (isomorfismo), entonces dim(E) = dim(E').

Autovalores y Autovectores

Sea f: E → E un endomorfismo del espacio vectorial E, y sea K el cuerpo de escalares. Se dice que un escalar λ ∈ K es un autovalor de f si existe algún vector no nulo e ∈ E tal que f(e) = λe.

Si λ es un autovalor de f, los vectores e ∈ E tales que f(e) = λe se llaman autovectores de f asociados a λ.

Formas Bilineales y Productos Escalares

Forma Bilineal

Sea (E, K) un espacio vectorial. Se llama forma bilineal sobre E a toda aplicación f: E × E → K tal que para todo u, v, w ∈ E y para todo h, m ∈ K se cumplen las siguientes propiedades:

1. Linealidad en la primera componente: f(hu + mv, w) = hf(u, w) + mf(v, w)
2. Linealidad en la segunda componente: f(u, hv + mw) = hf(u, v) + mf(u, w)

Cambio de Base para Formas Bilineales

Supongamos que A es la matriz asociada a una forma bilineal f en una base B, y supongamos que A' es la matriz asociada a f en otra base B'. Sea P la matriz de cambio de base de B a B'. Entonces, la relación entre A y A' es:

A' = P^TAP

Tipos de Formas Bilineales

• Forma Bilineal Simétrica: Una forma bilineal f es simétrica si para todo u, v ∈ E, se cumple f(u, v) = f(v, u).
• Forma Bilineal Hemisimétrica (o Antisimétrica): Una forma bilineal f es hemisimétrica (o antisimétrica) si para todo u, v ∈ E, se cumple f(u, v) = -f(v, u).

Producto Escalar

Sea (E, K) un espacio vectorial. Se llama producto escalar en E a toda forma bilineal f ∈ L₂(E, K) (el espacio de las formas bilineales) tal que:

• f es simétrica.
• Para todo e ∈ E, f(e, e) ≥ 0 (definida positiva).
• f(e, e) = 0 si y solo si e = 0_E.