Conceptos Esenciales de Álgebra Lineal y Geometría: Cónicas, Matrices y Teoremas

Fundamentos de Geometría Analítica: Las Cónicas

Circunferencia

Lugar geométrico de los puntos (ptos) de un plano que están a la misma distancia de su punto llamado centro. Esa distancia es el radio.

Elipse

Lugar geométrico tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante igual a 2a (eje mayor).

Hipérbola

Lugar geométrico tal que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos llamados focos sea una constante e igual a 2b (eje real).

Parábola

Lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Conceptos Clave de Álgebra Lineal

Matriz

Es un cuadro con números reales o complejos, ordenados en filas y columnas. Se las designa con una letra mayúscula e imprenta.

Tipos de Matrices

Matriz Identidad (I)

Es aquella que tiene 1 en la diagonal principal y el resto de los elementos es 0.

Matriz Adjunta (AdjA)

Es la matriz formada por las adjuntas de cada uno de los elementos de la matriz transpuesta de la matriz dada. Su propiedad fundamental es: $A \cdot \text{Adj}A = |A| \cdot I$.

Matriz Inversa ($A^{-1}$)

Dada una matriz $A$ cuadrada y regular, llamamos inversa de $A$ a aquella que, al pre o post multiplicarla por $A$, da como resultado la matriz identidad.

Determinantes y Componentes

Menor Complementario

Es el determinante de orden $(n-1)$ que resulta de suprimir en la matriz la fila $i$ y la columna $j$.

Adjunto de un Elemento ($A_{ij}$)

Es el menor complementario de un elemento con signo igual (positivo) si la suma de la fila y la columna es par, y con signo negativo si es impar.

Determinante ($|A|$)

Es la función que asigna a cada matriz cuadrada un número, un escalar. Es la función aplicada a un conjunto de matrices cuadradas.

Propiedades del Determinante

1. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales o nulas, su determinante es nulo.
2. El determinante de la matriz identidad es 1.
3. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada uno.

Rango de una Matriz

Es el número de filas o columnas linealmente independientes que tiene la matriz (distinto de 0), después de realizar en ella operaciones elementales.

Teoremas Fundamentales para Sistemas de Ecuaciones

Teorema de Rouché-Frobenius

Este teorema no permite resolver el sistema, sino determinar si tendrá solución o no. Se basa en el cálculo del rango de la matriz de los coeficientes y de la ampliada por los términos independientes. Si los rangos son iguales, el sistema tendrá solución; si no, no.

Teorema de Cramer

Todo sistema crameriano tiene solución única. Un Sistema Crameriano es un sistema cuadrado y regular (el determinante de la matriz debe ser diferente a 0).

Teorema de Gauss

Un sistema se resuelve cuando se obtienen soluciones mediante la reducción del sistema dado. Este método transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.