Conceptos Esenciales de Álgebra Lineal: Matrices, Vectores y Transformaciones

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal

Este documento presenta una recopilación de definiciones clave en el ámbito del álgebra lineal, abarcando desde operaciones con matrices hasta propiedades de espacios vectoriales y transformaciones lineales.

Matriz Reducida de Gauss

Dada una matriz de orden p x q, se le asocia otra matriz A*, del mismo orden, mediante operaciones elementales de fila, de forma que:

• El primer número no nulo de cada fila (conocido como pivote) sea distinto de cero.
• Las filas nulas, si las hay, estén al final de la matriz.

Rango de una Matriz

El rango de una matriz A es igual al número de filas no nulas que hay en la matriz reducida de Gauss (o forma escalonada) A* asociada a la matriz A.

Inversa de una Matriz

Si A es una matriz cuadrada y existe una matriz B tal que AB = I y BA = I (donde I es la matriz identidad), se dice que A es una matriz regular (o invertible) y que B es la matriz inversa de A.

Matriz Adjunta de A

Se llama matriz adjunta de A a una matriz B en la que cada elemento b_ij es el adjunto (o cofactor) correspondiente del elemento a_ij de A, es decir, b_ij = A_ij.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas. En este contexto, los escalares que multiplican a las incógnitas se denominan coeficientes del sistema, y las variables son las incógnitas.

Solución de un Sistema de Ecuaciones

Un vector columna X = [s₁, s₂, ..., s_n]^T es una solución del sistema AX = B si, al reemplazar la matriz de incógnitas X por dicho vector, se verifican todas las ecuaciones del sistema.

Espacio Vectorial

Un conjunto V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K (por ejemplo, los números reales R) si, con las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar, cumple ciertas propiedades. Entre ellas, (V, +) es un grupo abeliano (propiedad asociativa, existencia de elemento neutro, existencia de opuestos, propiedad conmutativa), y se satisfacen las propiedades de la multiplicación por un escalar.

Subespacio Vectorial

Sea V un espacio vectorial construido sobre un cuerpo K, y U un subconjunto no vacío de V (U ≠ ∅). U es un subespacio vectorial de V si U, con las mismas operaciones definidas en V, también es un espacio vectorial. Esto implica que U debe ser cerrado bajo la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.

Sistema Linealmente Independiente (L.I.)

Un conjunto de vectores {u₁, u₂, ..., u_n} es linealmente independiente si y solo si los únicos escalares x₁, x₂, ..., x_n tales que su combinación lineal x₁·u₁ + x₂·u₂ + ... + x_n·u_n = 0 son todos iguales a cero.

Sistema Linealmente Dependiente (L.D.)

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si existen escalares no todos nulos tales que su combinación lineal es igual al vector cero.

Base de un Espacio Vectorial

Un conjunto de vectores B = {u₁, u₂, ..., u_n} de un espacio vectorial V construido sobre un cuerpo K es una base de V si cumple dos condiciones:

1. B es un sistema generador de V, es decir, el espacio generado por B es igual a V (L(B) = V).
2. B es linealmente independiente.

Dimensión de un Espacio Vectorial

La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que tiene cualquier base de dicho espacio, o equivalentemente, el número máximo de vectores linealmente independientes que puede contener el espacio.

Aplicación Lineal

Dados dos espacios vectoriales V y W construidos sobre un cuerpo K (comúnmente los números reales R), una aplicación f: V → W es lineal si cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V y todo escalar a ∈ K:

• f(u + v) = f(u) + f(v) (propiedad de aditividad).
• f(au) = af(u) (propiedad de homogeneidad).

Núcleo de una Aplicación Lineal

Dada una aplicación lineal f: V → W entre dos espacios vectoriales V y W, el núcleo de f, denotado N(f) o Ker(f), es el conjunto de todos los vectores en V que son mapeados al vector cero de W:

N(f) = {v ∈ V / f(v) = 0_W}

Imagen de una Aplicación Lineal

Dada una aplicación lineal f: V → W entre dos espacios vectoriales V y W, la imagen de f, denotada Im(f) o Ran(f), es el conjunto de todos los vectores en W que son la imagen de algún vector en V:

Im(f) = {w ∈ W / existe v ∈ V tal que f(v) = w}

Isomorfismo

Una aplicación lineal f: V → W entre dos espacios vectoriales V y W es un isomorfismo si es biyectiva, es decir, si es inyectiva y sobreyectiva.