Conceptos Esenciales de Álgebra: Potenciación, Radicación y Factorización

Potenciación

La potenciación es la operación que consiste en multiplicar un número real a (base) por sí mismo n veces, donde n es un número natural mayor que 1 (exponente). El resultado se llama potencia enésima de a.

Radicación

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Dados dos números reales a (radicando) y n (índice), siendo n un número natural mayor que 1, la raíz enésima del número real a es un número b tal que, elevado a la potencia enésima, da como resultado a.

Propiedad Distributiva

Potenciación

Multiplicación

El producto de potencias de igual exponente es igual al producto de las bases elevado al mismo exponente. Por ejemplo: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ

División Exacta

La potencia enésima de un cociente es igual a la potencia enésima del dividendo dividida por la potencia enésima del divisor. Por ejemplo: (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Radicación

Multiplicación

La raíz enésima de un producto es igual al producto de las raíces enésimas de cada factor. Por ejemplo: ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b

División Exacta

La raíz enésima de un cociente es igual a la raíz enésima del dividendo dividida por la raíz enésima del divisor. Por ejemplo: ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b

Regla de Signos para Raíces

• Las raíces de índice par y radicando positivo tienen dos resultados: uno positivo y otro negativo, de igual valor absoluto.
• Para raíces de índice par y radicando negativo, no existen raíces reales.
• Las raíces de índice impar y radicando positivo tienen un solo resultado positivo.
• Las raíces de índice impar y radicando negativo tienen un solo resultado negativo.

Factorización de Polinomios

Factorizar un polinomio es transformarlo en un producto de expresiones algebraicas más simples.

Factor Común

El factor común es el número o expresión algebraica que se encuentra multiplicando en todos los términos de un polinomio.

Regla del Primer Caso: Factor Común Monomio

Si en todos los términos de un polinomio existe un factor común, el polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta de dividir cada término original por dicho factor.

Regla del Segundo Caso: Factor Común por Agrupación de Términos

Si los términos de un polinomio pueden agruparse de manera que cada grupo tenga un factor común, se extrae el factor común de cada grupo. Si el resultado es una expresión idéntica en cada paréntesis, esta se extrae nuevamente como factor común, completando así la factorización del polinomio.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Se denomina trinomio cuadrado perfecto al trinomio en el que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el tercer término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. Por ejemplo: a² ± 2ab + b²

Regla del Tercer Caso: Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto

Todo trinomio cuadrado perfecto es igual al cuadrado de un binomio, formado por la suma o diferencia de las bases de los cuadrados perfectos, dependiendo del signo del término central. Por ejemplo: a² + 2ab + b² = (a+b)²; a² - 2ab + b² = (a-b)²

Fórmula Cuadrática (Báscara)

La fórmula cuadrática, también conocida como fórmula de Báscara, se utiliza para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0. La fórmula es: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

Casos de Ecuaciones Cuadráticas Incompletas

Primer Caso: ax² = 0

Cuando la ecuación es de la forma ax² = 0, la única solución real es x = 0.
Ejemplo: 5x² = 0 → x² = 0/5 → x² = 0 → x = √0 → x = 0.

Segundo Caso: ax² + c = 0

Cuando la ecuación es de la forma ax² + c = 0, se despeja x².
Ejemplo: 4x² - 16 = 0 → 4x² = 16 → x² = 16/4 → x² = 4 → x = ±√4 → x₁ = 2, x₂ = -2.

Tercer Caso: ax² + bx = 0

Cuando la ecuación es de la forma ax² + bx = 0, se extrae el factor común x.
Ejemplo: 4x² - 12x = 0 → x(4x - 12) = 0. Esto implica que x = 0 o 4x - 12 = 0.
Si 4x - 12 = 0 → 4x = 12 → x = 12/4 → x = 3.
Las soluciones son x₁ = 0 y x₂ = 3.