Conceptos Esenciales de Álgebra: Radicales, Polinomios y Sistemas de Ecuaciones

Fundamentos de Álgebra: Radicales, Polinomios y Ecuaciones

1. Operaciones con Radicales y Exponentes

Definiciones Clave de Radicales

• La **potencia de exponente fraccionario** ($A^{1/n}$): Una potencia de exponente fraccionario, $1/n$, y base $A$ es igual a la **raíz de índice $n$ de $A$** ($\sqrt[n]{A}$).
• **Extracción de factores de un radical**: Consiste en escribir una expresión radical equivalente formada por el producto de un número y un radical.
• **Radicales semejantes**: Dos radicales son semejantes si se pueden escribir como múltiplos del mismo radical.

Propiedades Operacionales

El producto o cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical de igual índice, cuyo radicando es el producto o cociente de los radicandos, respectivamente.

Una potencia cuya base es un radical es otro radical del mismo índice y cuyo radicando está elevado al exponente de la potencia.

**Racionalizar**: Racionalizar un cociente cuyo divisor contiene expresiones radicales es expresarlo con otro cociente equivalente que no tenga expresiones radicales en el divisor.

2. Ecuaciones e Identidades Algebraicas

Tipos de Soluciones y Definiciones

Una ecuación puede tener varias soluciones, una o ninguna. Si no tiene solución, se denomina **incompatible**.

Una **identidad** es una igualdad entre expresiones algebraicas que se cumple siempre, para cualquier valor de la variable.

Productos Notables

Los principales productos notables son:

1. **Cuadrado de la suma**: El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
2. **Cuadrado de la diferencia**: El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
3. **Suma por diferencia**: La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Clasificación de Ecuaciones

• **Ecuaciones irracionales**: Se dice que son ecuaciones irracionales aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical.
• **Ecuaciones con fracciones algebraicas**: Las ecuaciones en las que aparecen fracciones algebraicas.

3. Polinomios y Raíces

Un número $A$ es **raíz de un polinomio** $P(x)$ si el valor numérico del polinomio para $x=A$ es $0$.

Teoremas Fundamentales

Teorema del Resto

El valor numérico de un polinomio $P(x)$ para $x=a$, coincide con el **resto** que se obtiene al dividir $P(x)$ entre $(x-a)$.

Teorema del Factor

Un polinomio $P(x)$ es **divisible** por $(x-a)$ si y solo si $A$ es una raíz del polinomio.

4. Sistemas de Ecuaciones

Un **sistema de ecuaciones** es un conjunto de dos o más ecuaciones que se deben satisfacer simultáneamente y en las que aparecen varias incógnitas.

Clasificación por Grado

• **Sistema lineal**: Un sistema de ecuaciones se dice que es lineal si todas las ecuaciones que lo forman son de primer grado.
• **Sistema no lineal**: En caso contrario.

Clasificación por Solución (Compatibilidad)

Un sistema es **compatible** si tiene solución. Un sistema se dice que es **incompatible** si no tiene ninguna solución.

Dentro de los sistemas compatibles, se distingue:

• **Compatible determinado**: Si la solución es única.
• **Compatible indeterminado**: Si tiene infinitas soluciones.