Conceptos Esenciales de Ecuaciones y Sistemas Algebraicos

Identidades y Ecuaciones: Conceptos Fundamentales

Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo de igualdad. Se clasifican en dos tipos:

• Identidad: Es cierta para cualquier valor de las letras (variables).
• Ecuación: Es cierta para algunos valores específicos de las letras (variables).

Elementos de una Ecuación

Miembro:

Cada una de las dos expresiones algebraicas separadas por el signo de igualdad.

Término:

Cada sumando de cada uno de los miembros.

Incógnitas:

Letras cuyos valores desconocemos.

Grado:

El mayor de los exponentes de las incógnitas.

Los valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución.

Ecuaciones de Segundo Grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad de la forma ax² + bx + c = 0, donde a es distinto de 0.

Estudio del Número de Soluciones (Discriminante)

El discriminante, denotado por Δ (delta), se calcula como Δ = b² - 4ac.

El número de soluciones de una ecuación de segundo grado depende del valor del discriminante:

• Si Δ > 0, tiene dos soluciones reales distintas.
• Si Δ = 0, tiene una solución real doble.
• Si Δ < 0, no tiene solución real.

Ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas

Las ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma ax + by = c. Las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas son pares de números que verifican la ecuación.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas forman un sistema cuando el objetivo es obtener las soluciones comunes a ambas ecuaciones.

Clasificación de Sistemas de Ecuaciones

• Sistema Incompatible: No tiene solución. Gráficamente, son dos rectas paralelas.
• Sistema Compatible: Tiene soluciones.
  • Determinado: Tiene una única solución. Gráficamente, son dos rectas que se cruzan en un punto.
  • Indeterminado: Tiene infinitas soluciones. Gráficamente, son dos rectas coincidentes.

Métodos de Resolución de Sistemas

Método de Sustitución:

Este método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra.

Método de Igualación:

Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.

Método de Reducción:

En esencia, este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las dos incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas, pero con distinto signo. Sumando las ecuaciones resultantes, miembro a miembro, se obtiene una ecuación con solo una incógnita.