Conceptos esenciales de estadística y álgebra para secundaria

Ejercicios corregidos de matemáticas

1. Definición de histograma: Es una representación gráfica de una distribución de datos, agrupados en intervalos y representados mediante barras.

2. Definición de gráfica poligonal: Gráfica poligonal es la formada por segmentos que unen los puntos correspondientes a los puntos medios superiores de cada barra de un histograma (o los puntos que representan frecuencias acumuladas según el contexto).

3. Definición de gráfica lineal: Representación de datos en un plano cartesiano usando líneas rectas que unen puntos; habitualmente se usa para mostrar la tendencia de una variable respecto a otra.

4. ¿Qué es la moda y cómo se calcula? Es el dato que más se repite en un conjunto. Se calcula identificando el valor con mayor frecuencia.

5. ¿Qué es la mediana y cómo se calcula? Es el valor central cuando los datos están ordenados. Si el número de datos es par, la mediana es el promedio de los dos valores centrales.

6. ¿Qué es la media y cómo se calcula? Es el promedio aritmético: se suman todos los datos y se divide el resultado entre el número total de datos.

7. ¿Qué es la marca de clase y cómo se calcula? Es el punto medio entre el límite inferior y el límite superior de un intervalo de clase. Se calcula como: (límite inferior + límite superior) / 2.

8. ¿Qué es un intervalo? Es un rango entre dos valores que agrupa datos en una misma clase.

9. ¿Cuántos alumnos fueron evaluados? No es posible responder sin los datos o la tabla de frecuencias correspondiente. Se requiere la lista de frecuencias o los datos para obtener el total.

10. ¿Cuál es la marca de clase del intervalo 7–8? La marca de clase del intervalo 7–8 es (7 + 8) / 2 = 7,5.

11. ¿Cuántos alumnos obtuvieron calificaciones de 7 a 7.5? No se puede determinar sin la distribución de frecuencias o los datos individuales del conjunto. Se necesita la tabla o el histograma con conteos.

12. Calcula lo que se pide

Datos: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5

• Moda = 3 (valor que más se repite)

• Media = suma de los datos / número de datos = (2+2+3+3+3+4+4+4+5) / 9 = 30 / 9 = 10/3 ≈ 3,333...

• Mediana = 3 (valor central al ordenar los datos)

• Rango = máximo − mínimo = 5 − 2 = 3

• Desviación media (desviación media absoluta respecto a la media):

  Media = 10/3. Suma de las desviaciones absolutas = 22/3. Por tanto la desviación media = (22/3) / 9 = 22/27 ≈ 0,8148.

13. Probabilidad (bolsa con 30 pelotas)

• a) Probabilidad de obtener una pelota roja: P(roja) = número de pelotas rojas / 30. Se requiere conocer cuántas pelotas rojas hay para calcular el valor numérico.

• b) Probabilidad de obtener una pelota negra: P(negra) = número de pelotas negras / 30. Faltan los conteos.

• c) Probabilidad de obtener una que no sea blanca: P(no blanca) = 1 − P(blanca) = (30 − número de pelotas blancas) / 30.

• d) Probabilidad de obtener una azul: P(azul) = número de pelotas azules / 30. Se necesita el conteo de pelotas azules.

Nota: Para calcular probabilidades concretas debe proporcionarse la composición (conteo por color) de la bolsa de 30 pelotas.

14. Ley de la probabilidad

La probabilidad de un suceso está entre 0 y 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1. Además, la probabilidad de la unión y la intersección de sucesos sigue las reglas básicas: por ejemplo, si A y B son sucesos, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Para sucesos mutuamente excluyentes: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

15. Sucesión de la fórmula 5n² + n − 1

Ejemplo con n = 1 a 3:

• n = 1: 5(1)^2 + 1 − 1 = 5

• n = 2: 5(4) + 2 − 1 = 20 + 2 − 1 = 21

• n = 3: 5(9) + 3 − 1 = 45 + 3 − 1 = 47

16. Según la fórmula 3n² + n, valor de n = 20

Calculo: 3(20)^2 + 20 = 3(400) + 20 = 1200 + 20 = 1220.

17. Representación algebraica de la secuencia 8, 21, 42, 71, 108, 153

Las diferencias sucesivas son: 13, 21, 29, 37, 45 (incremento constante en las segundas diferencias: 8). Esto indica que la sucesión es cuadrática de la forma an^2 + bn + c con 2a = 8 ⇒ a = 4. Resolviendo para n = 1, 2 se obtiene a = 4, b = 1, c = 3. Por tanto la expresión algebraica es:

4n² + n + 3 (para n = 1, 2, 3, ... reproduce 8, 21, 42, ...)

18. Área de los rectángulos

• Rectángulo 1: El área se calcula como base × altura. (Se requieren las medidas para calcular un valor numérico.)

• Rectángulo 2: El área se calcula como base × altura. (Se requieren las medidas para calcular un valor numérico.)

19. ¿Qué es un producto notable?

Un producto notable es una multiplicación que sigue un patrón algebraico conocido y fácil de recordar, como los binomios al cuadrado, la suma por la diferencia, o el binomio al cubo.

20. Tipos de binomios

• Binomio al cuadrado: (a + b)^2

• Suma por diferencia: (a + b)(a − b)

• Binomio al cubo: (a + b)^3

21. Productos notables

• a) (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

• b) (a + b)(a − b) = a^2 − b^2

• c) (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

22. Ley de exponentes

• a^m · a^n = a^(m+n)

• a^m / a^n = a^(m−n) (para a ≠ 0)

• (a^m)^n = a^(mn)

• (ab)^n = a^n b^n

23. Desigualdades

Propiedades básicas:

• Si a < b, entonces a + c < b + c (adición por ambos lados conserva la desigualdad).

• Si a < b y c > 0, entonces ac < bc (multiplicación por un número positivo conserva la desigualdad).

• Si a < b y c < 0, entonces ac > bc (multiplicación por un número negativo invierte la desigualdad).

• Transitividad: si a < b y b < c, entonces a < c.

24. Sistema de ecuaciones (edades de Antonio y José)

Sustituimos: (aquí falta el sistema original; se mantiene la palabra "Sustituimos:" como instrucción para los pasos de resolución).

Respuesta final: Antonio = 6 años, José = 12 años.

Observación: Para muchos apartados (n.º 9, n.º 11, n.º 13 y n.º 18) faltan datos concretos; he dejado la formulación y la forma de calcular las respuestas, indicando qué información adicional se requiere para obtener valores numéricos.