Conceptos Esenciales de Funciones: Dominio, Límites, Asintotas y Derivadas

Propiedades de las Funciones Continuas

Una función f(x) es continua en un punto 'a' si se cumplen tres condiciones:

1. f(a) existe (el punto 'a' está en el dominio de f).
2. El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' existe (los límites laterales son iguales).
3. El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' es igual a f(a).

Algunas propiedades importantes:

• Las funciones polinómicas son continuas en todo R.
• Las funciones racionales son continuas en todo R excepto en los puntos que anulan el denominador.
• Las funciones irracionales (raíces) son continuas en su dominio.
• Las funciones exponenciales son continuas en todo R.
• Las funciones logarítmicas son continuas en (0, +∞).
• Las funciones elementales son continuas en su dominio.
• Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en el punto f(a), entonces la función compuesta (g o f)(x) = g(f(x)) es continua en x=a.
• Si f(x) y g(x) son continuas en x=a, también lo son en x=a las funciones suma (f+g)(x), resta (f-g)(x), multiplicación (f·g)(x) y división (f/g)(x), siempre que el denominador no sea cero en el caso de la división.

Dominio de una Función

El dominio de una función f(x) es el conjunto de todos los valores de x para los cuales f(x) está definida.

• Polinómicas: Dominio = R (todos los números reales).
• Racionales: Dominio = R - {puntos que anulan el denominador}.
• Irracionales (raíces n-ésimas):
  • Si el índice n es impar: Dominio = Dominio del radicando.
  • Si el índice n es par: Dominio = {x ∈ Dominio del radicando | radicando ≥ 0}.
• Exponenciales: Dominio = Dominio del exponente.
• Logarítmicas: Dominio = {x | el argumento del logaritmo > 0}.
• Trigonométricas:
  • Seno (sen x) y Coseno (cos x): Dominio = R.
  • Tangente (tan x): Dominio = R - {π/2 + kπ, donde k es un número entero}.

Límites

Concepto de Límite

Para que exista el límite de una función f(x) en un punto x=a, los límites laterales (por la izquierda y por la derecha de 'a') deben existir y ser iguales. Si el límite existe, es único.

limx→a⁻ f(x) = limx→a⁺ f(x) = L

Entonces, limx→a f(x) = L.

Límites en el Infinito y Límites Infinitos

• Límite en el infinito (x → ±∞): Describe el comportamiento de la función cuando x toma valores muy grandes (positivos o negativos). limx→±∞ f(x) = L (si L es un número finito, hay una asíntota horizontal).
• Límite infinito (lim f(x) = ±∞): Ocurre cuando los valores de la función crecen o decrecen sin cota a medida que x se acerca a un punto 'a' o a ±∞. limx→a f(x) = ±∞ (si 'a' es finito, hay una asíntota vertical).

Indeterminaciones Comunes

Son expresiones cuyo valor no se puede determinar directamente y requieren técnicas adicionales (como L'Hôpital o manipulación algebraica) para resolver el límite.

• 0/0
• ∞/∞
• ∞ - ∞
• 0 · ∞
• 0⁰
• 1⁰
• ∞⁰

Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica de la función se acerca indefinidamente.

Asíntota Horizontal (AH)

La recta y = n es una AH de la función f(x) si existe alguno de los límites:

limx→+∞ f(x) = n o limx→-∞ f(x) = n (donde n es un número finito).

Asíntota Vertical (AV)

La recta x = a es una AV de la función f(x) si al menos uno de los límites laterales de f(x) cuando x tiende a 'a' es ±∞.

limx→a⁻ f(x) = ±∞ o limx→a⁺ f(x) = ±∞

Las AV suelen encontrarse en puntos que no están en el dominio de la función, típicamente donde el denominador se anula.

Asíntota Oblicua (AO)

La recta y = mx + n es una AO de la función f(x) si existen los límites finitos m y n, con m ≠ 0:

m = limx→±∞ f(x)/x

n = limx→±∞ (f(x) - mx)

Condiciones sobre Asíntotas

• Una función racional no puede tener Asíntota Horizontal y Asíntota Oblicua simultáneamente para el mismo lado (x→+∞ o x→-∞).
• Si una función tiene dos Asíntotas Horizontales (una para x→+∞ y otra para x→-∞), no puede tener Asíntota Oblicua.

Continuidad y Derivabilidad

Relación entre Continuidad y Derivabilidad

• Si una función f es derivable en un punto x=a, entonces es continua en ese punto.
• Si una función no es continua en un punto, tampoco es derivable en ese punto.
• Existen funciones continuas en un punto que no son derivables en ese mismo punto (por ejemplo, la función valor absoluto |x| en x=0).

Estudio en Funciones a Trozos

• Continuidad: En los puntos donde cambia la definición de la función, se estudia la continuidad comparando el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función en ese punto.
• Derivabilidad: En los puntos donde cambia la definición, se estudian las derivadas laterales. La función es derivable en ese punto si las derivadas laterales existen y son iguales.

Recta Tangente

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f(x) en el punto (a, f(a)) es:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

Donde f'(a) es la derivada de la función evaluada en el punto 'a', que representa la pendiente de la recta tangente.

Extremos Relativos

Los extremos relativos (máximos o mínimos locales) de una función f(x) se encuentran en los puntos críticos, que son aquellos donde la derivada f'(x) es cero o no existe.

Criterio de la Segunda Derivada para Extremos Relativos

1. Calcular la primera derivada, f'(x), e igualarla a cero para encontrar los puntos críticos.
2. Calcular la segunda derivada, f''(x).
3. Evaluar la segunda derivada en cada punto crítico 'c':
   • Si f''(c) > 0, la función tiene un mínimo relativo en x=c.
   • Si f''(c) < 0, la función tiene un máximo relativo en x=c.
   • Si f''(c) = 0, el criterio no decide y se debe usar el criterio de la primera derivada.