Conceptos Esenciales de Funciones e Inecuaciones en Matemáticas

Conceptos Fundamentales de Funciones y Desigualdades

Inecuación

Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. Los valores que verifican la inecuación se denominan soluciones. Las inecuaciones pueden tener infinitas soluciones; en la mayoría de los casos, suelen ser conjuntos de infinitos valores, los cuales se pueden expresar como desigualdades o intervalos.

Fundamentos de Funciones Matemáticas

Función

Una función es una correspondencia que asocia a cada elemento de un determinado conjunto de números reales un único número real, que se designa como y=f(x).

Dominio

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente.

Recorrido (o Rango)

El recorrido (o rango) de una función es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.

Operaciones y Propiedades de Funciones

Tasa de Variación

La tasa de variación de la función f al pasar del punto a al punto b viene dada por la expresión: TV(a,b)=f(b)-f(a).

Producto de una Función por un Escalar

El producto real k por una función f es una función kf que asocia a cada x, k veces el valor de f(x): (kf)(x)=k*f(x).

Suma de Funciones

La suma de dos funciones f y g es otra función (f+g) que a cada x del dominio común de ambas le hace corresponder f(x) más g(x): (f+g)(x)=f(x)+g(x).

Diferencia de Funciones

La diferencia de dos funciones f y g es otra función (f-g) que a cada x del dominio común de ambas le hace corresponder f(x) menos g(x).

Comportamiento y Extremos de Funciones

Función Creciente

Una función es creciente en un intervalo si para cualquier par de valores a y b en el mismo, la tasa de variación (TV) es positiva.

Función Decreciente

Una función es decreciente en un intervalo si para cualquier par de valores a y b en el mismo, la tasa de variación (TV) es negativa.

Máximo Relativo

Existe un máximo relativo en x=a si existe un entorno del punto a en el que los valores que toma la función son menores o iguales a f(a).

Mínimo Relativo

Existe un mínimo relativo en x=a si existe un entorno del punto a en el que los valores que toma la función son mayores o iguales a f(a).

Máximo Absoluto

Existe un máximo absoluto en x=a si f(a) es mayor o igual que el valor de f(x) en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo Absoluto

Existe un mínimo absoluto en x=a si f(a) es menor o igual que el valor de f(x) en cualquier otro punto del dominio de la función.

Simetría y Periodicidad de Funciones

Función Periódica

Una función f es periódica de periodo T si para todos los puntos del dominio se verifica que: f(x+T)=f(x).

Función Simétrica Respecto al Eje de Ordenadas (Par)

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas (función par) cuando para todo x del dominio se verifica que f(-x)=f(x).

Función Simétrica Respecto al Origen (Impar)

Una función f es simétrica respecto del origen (función impar) cuando para todo x del dominio se verifica que f(-x)=-f(x).