Conceptos Esenciales de Funciones Matemáticas: Dominio, Simetría y Derivadas

Introducción a las Funciones Reales de Variable Real

Se llama función real de variable real a una aplicación de un subconjunto de los números reales en los números reales.

Dominio y Recorrido de una Función

• Dominio de una función (Dom f): Es el subconjunto formado por todos los números reales para los que se puede hallar la imagen de la función f.
• Recorrido de una función: Se llama recorrido de la función al subconjunto de los números reales formado por todas las imágenes de la función.

Simetría de las Funciones

Una función es par o simétrica respecto al eje Y cuando verifica f(x) = f(-x) para todo x ∈ Dom f.

Se dice que una función es impar o simétrica respecto del origen de coordenadas si f(x) = -f(-x) para todo x ∈ Dom f.

Composición de Funciones

Dadas dos funciones f y g, se llama función compuesta de g por f, y se designa f o g, a la función f[g(x)]; es decir, (f o g)(x) = f(g(x)).

Esta expresión se lee "g compuesta con f" (se nombra antes a la función que actúa en primer lugar sobre la variable independiente).

Continuidad de Funciones

Definiciones de Continuidad:

• Una función es continua en un intervalo si es continua en todos los puntos del intervalo.
• Una función es continua en su dominio cuando lo es en todos los puntos que lo componen.
• Se denomina dominio de continuidad de una función al conjunto de todos los puntos del dominio donde la función es continua.

Tasa de Variación

Tasa de Variación Media (TVM)

Sea f definida en [a, b], se llama tasa de variación media en el intervalo al cociente TVM[a, b] = (f(b) - f(a)) / (b - a).

La TVM en un intervalo [a, b] coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b)).

Tasa de Variación Instantánea (TVI)

Dada una función f definida en un entorno del punto a, se define la Tasa de Variación Instantánea de f en a como el límite de las TVM cuando los intervalos son cada vez más pequeños.

Derivada de una Función en un Punto

La derivada de la función en el punto x = a, denotada f'(a), es el valor del límite: f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h.

Este valor coincide con la TVI de f en a y geométricamente representa el valor de la pendiente de la recta tangente a f en el punto (a, f(a)).

Derivabilidad y Continuidad

Si las derivadas laterales existen y coinciden, entonces la función es derivable en ese punto.

Si f es una función derivable en x = a, entonces f es continua en x = a. Por lo tanto, si f no es continua en un punto, no puede ser derivable en ese punto.