Conceptos Esenciales de Funciones Matemáticas y su Representación Gráfica

Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas

En el estudio de las matemáticas, las funciones son herramientas esenciales para describir relaciones entre variables. A continuación, se detallan los conceptos clave para comprender su comportamiento y representación gráfica.

Definición de Función

Una función es una relación que asigna a cada valor de la variable independiente un único valor de la variable dependiente.

Variables en una Función

• La variable independiente se designa con la letra X.
• La variable dependiente se designa con la letra Y o la expresión f(x).
• En los gráficos, los valores de la variable independiente se representan sobre el eje X (eje de abscisas), mientras que los de la dependiente se representan sobre el eje Y (eje de ordenadas).

Dominio e Imagen de una Función

• El dominio de la función (Df) es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente (X).
• La imagen de la función (Imf) es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente (Y).

Comportamiento de las Funciones

Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

• Una función es creciente en un cierto intervalo de su dominio cuando, al aumentar los valores de la variable independiente (X), aumentan los valores de la variable dependiente (Y).
• Una función es decreciente en un cierto intervalo de su dominio cuando, al aumentar los valores de la variable independiente (X), disminuyen los valores de la variable dependiente (Y).
• Una función es constante en un cierto intervalo de su dominio cuando a todos los valores de la variable independiente (X) les corresponde un mismo valor de la variable dependiente (Y).

Máximos y Mínimos Relativos

• Un máximo relativo es un punto de la función donde esta pasa de ser creciente a decreciente.
• Un mínimo relativo es un punto de la función donde esta pasa de ser decreciente a creciente.

Puntos Notables de una Función

Ceros o Raíces de una Función

Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable independiente (X) para los cuales la función corta al eje de abscisas (eje X). Gráficamente, son los puntos donde la función interseca el eje X, y su imagen es cero (f(x) = 0).

Ordenada al Origen

La ordenada al origen es el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje Y). Corresponde al valor de Y cuando X es cero (f(0)).

Interpretación de Gráficos Cartesianos

Un gráfico cartesiano es un sistema de ejes en el cual están representados los valores de las variables relacionadas. Cada sistema de ejes cartesianos está determinado por dos rectas perpendiculares:

• La recta horizontal representa el eje de abscisas, designada con la letra X.
• La recta vertical representa el eje de ordenadas, designada con la letra Y.

Propiedades de la Función Afín (Lineal)

La función afín, también conocida como función lineal, presenta características específicas relacionadas con su pendiente:

• Si la pendiente (a) es mayor que 0 (a > 0), la función es creciente.
• Si la pendiente (a) es igual a 0 (a = 0), la función es constante.
• Si la pendiente (a) es menor que 0 (a < 0), la función es decreciente.

Paralelismo y Perpendicularidad entre Rectas

• Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.
• Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas.