Conceptos Esenciales de Funciones y Rectas en Matemáticas

Funciones Matemáticas

Definiciones Fundamentales

• Función: Una función es una relación entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera magnitud (variable independiente) le corresponde un único valor de la segunda magnitud (variable dependiente). Se denota como y = f(x), siendo x la variable independiente e y la variable dependiente.
• Dominio y Rango de una Función:
  • El dominio de una función f, denotado por Dom(f), es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente x.
  • El rango o recorrido de una función f, denotado por Ran(f) o Im(f), es el conjunto de los valores que toma la variable dependiente y.
• Tasa de Variación: La tasa de variación (TV) de una función f entre dos puntos a y b de su dominio viene dada por la expresión: TV(a, b) = f(b) - f(a).

Tipos de Funciones

• Función Par: Se conoce como función par a aquella que satisface la condición f(x) = f(-x) para todo x que pertenezca al dominio de la función.
• Función Impar: Se conoce como función impar a aquella que cumple con la condición f(-x) = -f(x) para todo x que pertenezca al dominio de la función.
• Función Lineal: Toda función de la forma y = mx, donde m es una constante diferente de 0, es una función lineal. El valor m representa la pendiente de la recta.
• Función Afín: Toda función de la forma y = mx + b, donde m y b son constantes (m ≠ 0), se denomina función afín. El valor m representa la pendiente y b es la ordenada en el origen (el punto de corte con el eje y).

La Recta y sus Ecuaciones

Elementos de la Recta

En la ecuación y = mx + b:

• La constante m recibe el nombre de pendiente de la recta e indica su inclinación respecto al eje positivo x.
• La constante b recibe el nombre de ordenada en el origen e indica el punto de corte con el eje y, cuyas coordenadas son (0, b).

Ecuación Explícita de la Recta

La ecuación de la forma y = mx + b se llama ecuación explícita de la recta. A partir de esta ecuación, se puede determinar directamente la pendiente m y el punto de corte con el eje y (0, b).

Casos para Determinar la Ecuación de una Recta

La ecuación de una recta se puede determinar principalmente en los siguientes casos:

1. Caso 1: Cuando se conocen la pendiente (m) y el intercepto con el eje y (b).
2. Caso 2: Cuando se conoce la pendiente (m) y un punto (x₁, y₁) por el que pasa la recta.
3. Caso 3: Cuando se conocen dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) por los que pasa la recta.

Posiciones Relativas de Rectas

• Rectas Paralelas: Dos rectas no verticales, L₁ y L₂, con pendientes m₁ y m₂ respectivamente, son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales: m₁ = m₂.
• Rectas Perpendiculares: Dos rectas L₁ y L₂, con pendientes m₁ y m₂ respectivamente, son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es igual a -1: m₁ * m₂ = -1.
• Rectas Secantes: Dos rectas son secantes cuando se cortan en un único punto. Si, además, forman un ángulo recto, son perpendiculares (un caso particular de secantes).

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto formado por dos o más ecuaciones lineales, cada una de ellas con dos o más incógnitas.