Conceptos esenciales de geometría: Lugares geométricos, poliedros y transformaciones

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica.

• Circunferencia: lugar geométrico en el cual los puntos del plano equidistan de un punto interior llamado centro.
• Mediatriz: recta que divide perpendicularmente por la mitad a un segmento.
• Bisectriz: recta que divide en dos partes iguales a un ángulo.

Rectas y puntos notables en el triángulo

• Alturas y Ortocentro

  Alturas: son las rectas que pasan por un vértice y son perpendiculares al lado opuesto. Donde se cortan, se denomina ortocentro.

• Medianas y Baricentro

  Medianas: rectas que pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Donde se cortan se denominan baricentro y cumple que está a doble distancia del vértice que de la mitad del lado opuesto.

• Mediatrices y Circuncentro

  Mediatrices: rectas que pasan por el punto medio del lado y son perpendiculares a este. Donde se cortan se llama circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita.

• Bisectrices e Incentro

  Bisectrices: son las rectas que pasan por un vértice y dividen al ángulo en dos partes iguales. Donde se cortan se llama incentro y es el centro de la circunferencia inscrita.

Teorema de Pitágoras

H² = C² + c² ; C² = H² - c²

Poliedros

Los poliedros son cuerpos geométricos cerrados limitados por caras planas de forma poligonal.

• Cara: cada polígono que limita al poliedro.
• Arista: lado de cada cara.
• Vértice: donde concurren tres o más caras.
• Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos.

Desarrollo: es el que se obtiene al extenderlo sobre un plano.

Cóncavos: alguna cara, al prolongarla, corta al poliedro.

Convexos: ninguna cara, al prolongarla, corta al poliedro.

Poliedros regulares: todas sus caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice se une el mismo número de caras.

Prisma

Poliedro que tiene dos caras que son polígonos iguales y paralelos entre sí, y el resto de caras son paralelogramos. La altura es la distancia entre las bases.

• Prisma recto: sus caras laterales son rectángulos, es decir, perpendiculares a las bases. En caso contrario, se llama prisma oblicuo.
• Prisma regular: cuando es recto y sus bases son regulares.
• Prisma paralelepípedo: cuya base es un cuadrilátero y si son rectos son ortoedros.

A = P_base • h + 2A_base = A_lateral + 2A_base

Pirámide

Poliedro que tiene por base un polígono y por caras laterales triángulos con un vértice en común. La altura de una pirámide es la distancia del vértice a la base.

• Pirámide recta: sus caras laterales son todos triángulos isósceles. En caso contrario, son oblicuas.
• Pirámide regular: cuando es recta y su base es un polígono regular.

A = A_base + A_lateral = A_base + P_base • ap / 2

Cuerpos de revolución

• Casquete esférico: A = 2πrh
• Zona esférica: A = 2πrh
• Huso esférico: A = 4πr²α / 360

Principio de Cavalieri

Si dos cuerpos tienen la misma altura y las secciones producidas al cortarlos por planos paralelos a la base presentan igual área, entonces los dos cuerpos tienen el mismo volumen.

• Prisma: V = A_base • altura = A_base • h
• Cilindro: V = A_base • altura = π • r² • h
• Pirámide: ⅓ V_prisma = ⅓ (A_base • h)
• Cono: ⅓ V_cilindro = ⅓ (πr²h)
• Tronco de cono: ⅓ πh (R² + r² + R • r)

Magnitudes vectoriales y transformaciones geométricas

Magnitudes vectoriales

Magnitudes vectoriales: magnitudes en las que además de su valor numérico tenemos que saber su dirección y sentido. Dos puntos en el plano A y B determinan un vector fijo →AB, en el que A es el origen y B el extremo. La distancia entre A y B se llama módulo del vector, y la recta que pasa por A y B es la dirección del vector. El sentido es el que va de A a B. Módulo → |AB|.

Los vectores →AB y →BA tienen la misma dirección.

Coordenadas de un vector

A = (X₀, Y₀) B = (X₁, Y₁). → AB = (X₁ - X₀, Y₁ - Y₀).

Transformaciones geométricas

Transformar un punto P en un punto P' con unas reglas determinadas.

• Movimiento: es una transformación geométrica que conserva distancias y ángulos. P' es el transformado de P. Q' es el transformado de Q. d(P, Q) = d(P', Q').
• Traslación: es un movimiento que transforma un punto P en un punto P' que cumple: →PP' = →V.
• Giro: de centro de un punto O y ángulo α es un movimiento que asocia a cada punto P un punto P'.