Conceptos Esenciales de Geometría Vectorial y Cálculo Diferencial

Ecuaciones Fundamentales en Geometría Vectorial

Ecuación de la Recta

• Forma General: (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ(v1,v2,v3)
• Forma Paramétrica:
  • x = a1 + v1λ
  • y = a2 + v2λ
  • z = a3 + v3λ
• Forma Continua: (x-a1)/v1 = (y-a2)/v2 = (z-a3)/v3
  • Nota: Para pasar de la forma paramétrica a la continua, se cambian los signos de las coordenadas del punto (a1, a2, a3).
  • Consideración: En la forma continua, si un numerador no tiene término (ej. x-0), se asume 0. Si un denominador es 0 (ej. /0), la variable correspondiente no varía, y la ecuación se expresa como un sistema de dos planos. Si un denominador no tiene término (ej. /1), se asume 1.

Ecuación del Plano

• Forma General: (x,y,z) = (a1,a2,a3) + λ(v1,v2,v3) + ω(u1,u2,u3)
• Forma Implícita (General): Ax+By+Cz+D=0. Esta se obtiene del determinante:

  |x-a1  y-a2  z-a3|

  |v1    v2    v3   |

  |u1    u2    u3   |

  = 0

Conversión entre Ecuaciones

• De Recta Continua a Intersección de 2 Planos: A partir de la igualdad de la forma continua, se pueden obtener dos ecuaciones de planos igualando las fracciones de dos en dos y reordenando los términos para igualar a 0.
• De Intersección de 2 Planos a Recta Paramétrica: Se asigna un parámetro (λ) a una de las variables y se resuelven las otras dos en función de este parámetro.

Posiciones Relativas de Elementos Geométricos

Posiciones Relativas de Dos Planos

Se analizan pasando las ecuaciones a forma matricial (matriz de coeficientes M y matriz ampliada M').

• 1. Planos Paralelos: Rango(M)=1 y Rango(M')=2. Sistema Incompatible (S.I.), sin solución.
• 2. Planos Secantes: Rango(M)=2 y Rango(M')=2. Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.), infinitas soluciones (se cortan en una recta).
• 3. Planos Coincidentes: Rango(M)=1 y Rango(M')=1. Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.), infinitas soluciones (son el mismo plano).

Posiciones Relativas de Tres Planos

Se analizan pasando las ecuaciones a forma matricial (matriz de coeficientes M y matriz ampliada M').

• 1. Se Cortan en un Punto: Rango(M)=3 y Rango(M')=3. Sistema Compatible Determinado (S.C.D.), una única solución.
• 2. Forma Prismática (Dos Planos Paralelos y Otro los Corta): Rango(M)=2 y Rango(M')=3. Sistema Incompatible (S.I.), no tiene solución.
• 3. Se Cortan de Dos en Dos (Haz de Planos): Rango(M)=2 y Rango(M')=2. Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.), infinitas soluciones.
• 4. Paralelos y Distintos, o Dos Coincidentes y Uno Paralelo: Rango(M)=1 y Rango(M')=2. Sistema Incompatible (S.I.).
• 5. Planos Coincidentes: Rango(M)=1 y Rango(M')=1. Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.).

Posiciones Relativas de Recta y Plano

Se utiliza la forma general del plano y la recta como intersección de dos planos, o se sustituye la recta paramétrica en la ecuación del plano. Se forma la matriz.

• 1. Recta Paralela al Plano: Rango(M)=2 y Rango(M')=3. Sistema Incompatible (S.I.), sin solución.
• 2. Recta Secante al Plano: Rango(M)=3 y Rango(M')=3. Sistema Compatible Determinado (S.C.D.), una solución (punto de corte).
• 3. Recta Contenida en el Plano: Rango(M)=2 y Rango(M')=2. Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.), infinitas soluciones.

Posiciones Relativas de Dos Rectas

Dadas las rectas r(A,u) y s(B,v), se forma la matriz con los vectores directores U, V y el vector AB (que une un punto de r con un punto de s).

• 1. Rectas Coincidentes: Rango(M)=1 y Rango(M')=1. Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I.), infinitas soluciones.
• 2. Rectas Secantes: Rango(M)=2 y Rango(M')=2. Sistema Compatible Determinado (S.C.D.), una solución (punto de corte).
• 3. Rectas Paralelas: Rango(M)=1 y Rango(M')=2. Sistema Incompatible (S.I.).
• 4. Rectas que se Cruzan: Rango(M)=2 y Rango(M')=3. Sistema Incompatible (S.I.).

Cálculo de Ángulos

• Ángulo entre dos Rectas: Se calcula usando el producto escalar de sus vectores directores (U y V):

  cos(α) = |U · V| / (||U|| · ||V||)

• Ángulo entre dos Planos:

  Se calcula usando el producto escalar de sus vectores normales (N1 y N2):

  cos(α) = |N1 · N2| / (||N1|| · ||N2||)

• Ángulo entre Recta y Plano:

  Se calcula usando el producto escalar del vector director de la recta (V) y el vector normal del plano (N):

  sen(α) = |V · N| / (||V|| · ||N||)

Productos Vectoriales y Mixtos

• Producto Vectorial (Áreas):
  • Área del Paralelogramo formado por los vectores U y V: Área = ||U x V|| (módulo del producto vectorial).
  • Área del Triángulo formado por los vectores U y V: Área = 1/2 ||U x V||.
  
• Producto Mixto (Volúmenes):

  Volumen del Paralelepípedo formado por los vectores U, V y W: Volumen = |(U x V) · W| (valor absoluto del producto mixto).

  Volumen del Tetraedro formado por los vectores U, V y W: Volumen = 1/6 |(U x V) · W|.

Perpendicular Común a Dos Rectas que se Cruzan

Dadas dos rectas r(A,u) y s(B,v) que se cruzan, para encontrar la recta perpendicular común, se puede seguir el siguiente procedimiento:

1. Calcular el vector director de la perpendicular común: W = U x V.
2. Construir un plano π1 que contenga a la recta r y sea paralelo al vector W. Esto se logra con el punto A y los vectores U y W.
3. Construir un plano π2 que contenga a la recta s y sea paralelo al vector W. Esto se logra con el punto B y los vectores V y W.
4. La recta perpendicular común es la intersección de los planos π1 y π2.

Conceptos Fundamentales de Cálculo

Indeterminaciones

Las formas indeterminadas que se encuentran comúnmente en el cálculo de límites son:

• 0/0
• ∞/∞
• ∞-∞
• 1^∞
• 0^∞
• 0x∞
• ∞^0

Continuidad y Derivabilidad

Para estudiar la continuidad de una función en un punto Xo, se deben cumplir tres condiciones:

1. La función debe estar definida en Xo (existe f(Xo)).
2. El límite de la función cuando x tiende a Xo debe existir (lim_x→Xo f(x) existe).
3. El valor de la función en Xo debe ser igual al límite (f(Xo) = lim_x→Xo f(x)).

Para estudiar la derivabilidad de una función en un punto, la función debe ser continua en ese punto. Además, las derivadas laterales (por la derecha y por la izquierda) deben ser iguales en ese punto.

Teorema de Bolzano

Enunciado: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b], tal que el signo de f(a) es distinto al signo de f(b). Entonces, existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a,b) tal que f(c)=0.

Este punto c es una raíz real de la función o un punto de corte con el eje X.

Pasos para aplicar el Teorema de Bolzano:

1. Comprobar la Continuidad: Verificar que la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b].
   • Las funciones polinómicas son continuas en todo R.
   • Las funciones racionales son continuas en todo R excepto donde el denominador es cero. Si los puntos de discontinuidad están dentro del intervalo dado, la función no es continua en ese intervalo.
2. Evaluar los Extremos: Calcular f(a) y f(b) y verificar que tienen signos opuestos (f(a) · f(b) < 0).
   • Si no se proporciona un intervalo, se eligen valores hasta que se observe un cambio de signo.
3. Conclusión: Si se cumplen las condiciones anteriores, por el Teorema de Bolzano podemos asegurar que al menos existe un valor c en (a,b) tal que f(c)=0.

Funciones con Valor Absoluto

Dada una función con valor absoluto, para analizarla o representarla:

1. Identificar Puntos Críticos: Igualar a cero el argumento de cada valor absoluto para encontrar los puntos donde la expresión cambia de signo.
2. Definir la Función a Trozos: Utilizar los puntos críticos para dividir el dominio en intervalos. En cada intervalo, reescribir la función eliminando el valor absoluto según el signo del argumento.
3. Representación Gráfica: Graficar cada trozo de la función en su respectivo intervalo.

Nota: Cuando se tienen expresiones con valor absoluto al cuadrado, se pueden resolver las ecuaciones resultantes y las soluciones serán los puntos críticos. Si hay una variable 'x' que suma, resta o multiplica fuera del valor absoluto, se opera una vez definida la función a trozos.

Cálculo de Distancias en el Espacio

• 1. Distancia entre Dos Puntos:

  Dados P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2), la distancia es el módulo del vector P1P2:

  d(P1,P2) = ||P1P2|| = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)

• 2. Distancia de un Punto a una Recta:

  Se utiliza la fórmula específica o se proyecta el punto sobre la recta.

• 3. Distancia entre Dos Rectas Paralelas:

  Se toma un punto de una de las rectas y se calcula la distancia de ese punto a la otra recta.

• 4. Distancia entre Dos Rectas que se Cruzan:

  Dadas r(A,U) y s(B,V), la distancia se calcula mediante la fórmula:

  

  Donde el numerador es el valor absoluto del producto mixto de los vectores AB, U y V, y el denominador es el módulo del producto vectorial U x V.

• 5. Distancia de un Punto a un Plano:

  Dada la ecuación general del plano Ax+By+Cz+D=0 y un punto P(x0,y0,z0), la distancia es:

  d(P,π) = |Ax0+By0+Cz0+D| / √(A²+B²+C²)

• 6. Distancia de una Recta a un Plano:

  Si la recta es paralela al plano, se toma un punto cualquiera de la recta y se calcula la distancia de ese punto al plano.

• 7. Distancia entre Dos Planos Paralelos:

  Para que dos planos Ax+By+Cz+D=0 y A'x+B'y+C'z+D'=0 sean paralelos, sus vectores normales deben ser proporcionales: A/A' = B/B' = C/C' ≠ D/D'. Se toma un punto de uno de los planos y se calcula la distancia de ese punto al otro plano.