Conceptos Esenciales de Límites y Continuidad en Funciones

Límites Infinitos

Cuando x tiende a un valor específico por la izquierda (ej. x → 3^-), se sustituye x por un número muy cercano pero menor (ej. 2.999). Dependiendo del resultado de la evaluación, el límite será más infinito (+∞) o menos infinito (-∞).

Si el límite no especifica si es por la izquierda o por la derecha (ej. x → 3), se deben calcular ambos límites laterales para determinar el comportamiento de la función en ese punto.

Indeterminaciones en Límites

Para resolver límites que resultan en una indeterminación, el primer paso es sustituir el valor al que tiende x en la expresión para identificar el tipo de indeterminación. Es crucial recordar que el operador lim (límite) solo se escribe cuando se está indicando la operación de límite, no una vez que se ha realizado la sustitución.

Resultados Comunes de Límites

• 0/k = 0 (donde k ≠ 0)
• k/0 = ±∞ (donde k ≠ 0)
• k/∞ = 0 (donde k ≠ 0)
• 0/∞ = 0

Tipos de Indeterminaciones y Métodos de Resolución

Indeterminación Tipo k/0 = ±∞

Para determinar el signo del infinito, se evalúa la función con valores muy cercanos al punto de indeterminación, tanto por la izquierda (ej. x → a^-) como por la derecha (ej. x → a^+). Si los límites laterales no coinciden en signo (ej. uno es +∞ y el otro -∞), el límite en ese punto no existe. Si ambos coinciden, el límite es +∞ o -∞ según corresponda.

Indeterminación Tipo ∞/∞

Para resolver esta indeterminación, se divide tanto el numerador como el denominador por la máxima potencia de x presente en la expresión. Luego, se aplican las propiedades de los límites (ej. k/x^n → 0 cuando x → ∞).

Indeterminación Tipo 0/0

Esta indeterminación se resuelve generalmente mediante factorización. Se factorizan el numerador y el denominador, utilizando métodos como la regla de Ruffini o las identidades notables. Por ejemplo: x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Una vez factorizados, se simplifican los factores comunes y se vuelve a evaluar el límite.

Indeterminación Tipo ∞ - ∞

Para resolver esta indeterminación, se busca un denominador común (mínimo común múltiplo) para combinar las expresiones en una sola fracción. Si las expresiones son raíces, a menudo se multiplica por el conjugado. Una vez combinadas, se reevalúa el límite, que podría transformarse en otro tipo de indeterminación (ej. ∞/∞ o 0/0).

Indeterminación Tipo 1^∞

Esta indeterminación se resuelve utilizando la propiedad del número e (e ≈ 2.718...), cuya estructura fundamental es lim x→∞ (1 + 1/x)^x = e. Para una función de la forma lim x→k f(x)^g(x) donde f(x) → 1 y g(x) → ∞, se aplica la siguiente fórmula:

e^(lim x→k [g(x) * (f(x) - 1)])

Los pasos para aplicar esta fórmula son:

1. Identificar f(x) y g(x): La base es f(x) y el exponente es g(x).
2. Calcular f(x) - 1: Restar 1 a la base y simplificar la expresión resultante.
3. Multiplicar por el exponente: Multiplicar la expresión obtenida en el paso anterior por g(x).
4. Calcular el límite del producto: Resolver el límite de la expresión g(x) * (f(x) - 1) cuando x → k.
5. Elevar e al resultado: El resultado final del límite original será e elevado al valor obtenido en el paso anterior.

Continuidad de Funciones

Una función f(x) es continua en un punto x = a si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. La función está definida en x = a (es decir, f(a) existe).
2. El límite de la función existe en x = a (es decir, lim x→a^- f(x) = lim x→a^+ f(x)).
3. El valor de la función en el punto es igual al límite (es decir, lim x→a f(x) = f(a)).

Para demostrar la continuidad, se deben verificar estas tres condiciones. Si alguna no se cumple, la función es discontinua en ese punto. Para representar la función gráficamente, se asignan valores a x en cada tramo de la función y se dibuja su comportamiento.

Tipos de Discontinuidad

Las discontinuidades se identifican en los puntos donde la función no está definida (fuera de su dominio) o donde cambia su definición (en funciones a trozos). Para analizar el tipo de discontinuidad, se calculan los límites laterales y el valor de la función en el punto.

Existen principalmente tres tipos de discontinuidades:

• Discontinuidad Evitable: El límite de la función existe en el punto, pero f(a) no existe o f(a) ≠ lim x→a f(x). Se puede "evitar" redefiniendo la función en ese punto.
• Discontinuidad de Salto (o de Primera Especie): Los límites laterales existen pero son diferentes (lim x→a^- f(x) ≠ lim x→a^+ f(x)).
• Discontinuidad Asintótica (o de Segunda Especie): Al menos uno de los límites laterales es infinito (±∞). Esto ocurre generalmente en puntos donde el denominador de una fracción se anula.