Conceptos Esenciales de Límites y Continuidad para Funciones de Varias Variables

Conceptos Fundamentales en Cálculo Multivariable

1. Dominio y Recorrido de una Función

Definición: Dominio de una Función

Manteniendo la notación anterior, llamaremos dominio de f al conjunto de puntos de Rⁿ que tienen imagen por f, es decir, a C: Dom(f) = {x ∈ Rⁿ; ∃f(x)}.

Definición: Recorrido de una Función

Llamaremos recorrido de f (o imagen de f, Im(f)) al conjunto de puntos de R^p que tienen antiimagen por la función.

Definición: Curva de Nivel

Dada una función real de n variables g : C → R (C ⊆ Rⁿ) y un número real k, se denomina curva de nivel k de la función g al conjunto de puntos de C que tienen como imagen k.

2. Límites de Funciones de Varias Variables

2.1. Límite de una Función en un Punto

Definición: Límite de una Función

Sea f : C → R^q una función definida en un conjunto C ⊂ R^p y sea a ∈ R^p un punto de acumulación de C. Se dice que l ∈ R^q es el límite de f en el punto a, y lo denotaremos lím_x→a f(x) = l, si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ C − {a}, tal que d(x, a) < δ se verifica que d(f(x), l) < ε; es decir, si ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que x ∈ B*(a, δ) ∩ C ⇒ f(x) ∈ B(l, ε).

2.2. Límites Reiterados

Definición: Límites Reiterados

Sea f : C → R una función definida en un conjunto C ⊂ R² y sea (a, b) ∈ R² un punto de acumulación de C. Se llama límite reiterado de f cuando x tiende a a primero e y tiende a b después, a lím_y→b (lím_x→a f(x, y)) si este límite existe.

La expresión lím_y→b (lím_x→a f(x, y)) = l significa:

1. Para cada y de un entorno reducido de b, se considera la función x ↦ f(x, y).
2. Existe el límite de esta función en x = a, ϕ(y) = lím_x→a f(x, y).
3. Existe el límite de la función y ↦ ϕ(y) en y = b y lím_y→b ϕ(y) = l.

2.3. Límites Direccionales

Definición: Límites Direccionales

Sean f : C → R una función definida en un conjunto C ⊂ Rⁿ y a ∈ Rⁿ un punto de acumulación de C. Si R es una recta (resp. curva) que pasa por a, y a es un punto de acumulación de C ∩ R, se llama límite direccional de f en a según la recta R (resp. límite de f en a según la curva R) al límite, si existe, de la función f|_R : C ∩ R → R, definida por la regla x ↦ f(x).

3. Continuidad de Funciones de Varias Variables

Definición: Continuidad en un Punto y en un Conjunto

Sea f : C → R^p una función definida en un conjunto C ⊆ Rⁿ y sea a ∈ C.

1. Diremos que f es continua en a, un punto de acumulación de C, si existe lím_x→a f(x) y además lím_x→a f(x) = f(a). Si a es un punto aislado de C, por convenio diremos que f es continua en a.
2. Diremos que f es continua en D ⊆ C si es continua en todo punto de D.

Observación sobre Discontinuidades

La continuidad en a exige tanto la existencia del límite en el punto como la coincidencia del valor de este con f(a). Cuando el límite existe, pero no coincide con f(a), diremos que en a hay una discontinuidad evitable. Si el límite en a no existe, hablaremos de una discontinuidad esencial.