Descuento racional y comercial, tasas efectivas y equivalentes en matemática financiera

Resumen

El documento presenta los conceptos básicos de matemática financiera: variables clave, fórmulas de descuento racional y comercial, y la relación entre tasas de descuento e interés. También explica las tasas efectivas, equivalentes y proporcionales, junto con la capitalización periódica y subperiódica. Incluye un glosario de términos como capitalización, actualización y régimen de interés compuesto.

Puntos clave

El descuento racional se calcula sobre el valor actual del capital: DR = V × i × n.
El descuento comercial se calcula sobre el valor nominal: DC = N × d × n.
La tasa efectiva anual se obtiene con ie = (1 + i/m)^m − 1.
La tasa equivalente cumple im = (1 + i)^(1/m) − 1.
La tasa subperiódica proporcional es jm = j / m, donde j es la tasa nominal anual.
En el régimen de interés compuesto, los intereses generan nuevos intereses en cada período.
La capitalización traslada valores del presente al futuro, y la actualización hace el proceso inverso.

Ponte a prueba

Conceptos Fundamentales de Matemática Financiera

Definiciones de Variables Clave

N: Valor nominal (o valor futuro del capital).
V: Valor efectivo o actual (capital presente).
D: Descuento (monto de reducción del valor nominal).
d: Tasa de descuento (expresada como decimal).
i: Tasa de interés (expresada como decimal).
n: Cantidad de períodos (tiempo).
m: Cantidad de subperíodos dentro de un período principal (frecuencia de capitalización).
C: Capital inicial o principal.
M: Monto final o capital final.

Fórmulas de Descuento

Descuento Racional (o Descuento Matemático)

El descuento racional se calcula sobre el valor efectivo o actual del capital.

DR = V × i × n
DR = N − V
V × i × n + V = N
V × (i × n + 1) = N
V = N / (i × n + 1)
i = (N − V) / (V × n)
n = (N − V) / (V × i)

Descuento Comercial (o Descuento Bancario)

El descuento comercial se calcula sobre el valor nominal del capital.

DC = N × d × n
DC = N − V
N − (N × d × n) = V
V = N × (1 − d × n)
N = V / (1 − d × n)

Relaciones Clave entre Tasas y Descuentos

Conversión de tasa de descuento a tasa de interés: i = d / (1 − d × n)
Conversión de tasa de interés a tasa de descuento: d = i / (1 + i × n)

Tasas de Interés y Capitalización

Tasas Efectivas y Equivalentes

Tasa Efectiva Anual (i_e): i_e = (1 + i/m)^m − 1
Tasa Equivalente (i_m): i_m = (1 + i)^1/m − 1
Tasa Subperiódica Proporcional (j_m): j_m = j / m (donde 'j' es la tasa nominal anual)

Capitalización

Capitalización Periódica: M = C × (1 + i)ⁿ
Capitalización Subperiódica: M = C × (1 + i/m)^m×n
Interés Compuesto: Interés = C × (1 + i)ⁿ − C

Glosario de Términos Financieros

Operaciones Financieras: Toda modificación cuantitativa en el capital por desplazamiento del mismo en el tiempo.
Capitalización: Es el proceso que estudia y trata de explicar el traslado de valores del presente hacia el futuro.
Actualización: Estudia los procesos inversos, trayendo valores del futuro al presente.
Régimen de Interés Compuesto: Los intereses producidos en cada período son productores de nuevos intereses. Al final de cada período, la base de cálculo de los intereses se incrementa, haciendo que los intereses sean variables y crecientes.
Tasa Subperiódica Proporcional: Tasa que resulta de dividir la tasa nominal por la frecuencia de capitalización.
Tasa Nominal: Tasa que se enuncia anualmente, pero establece que los intereses se liquiden y capitalicen en períodos menores a los que establece la tasa periódica nominal.
Frecuencia de Capitalización: Cantidad de subperíodos en que se divide el período que marca la tasa nominal.
Tasa Efectiva: Tasa que indica el verdadero rendimiento de la unidad de capital en la unidad de tiempo. Surge como modificación de la tasa nominal al aplicar capitalización subperiódica.
Tasa Equivalente: Tasa que, capitalizando subperiódicamente, obtiene un monto igual al producido por la tasa nominal periódica.
Descuento: Es el precio que debe pagarse por la disponibilidad inmediata de un capital antes de su vencimiento (dentro de 'n' períodos). Puede ser Irracional o Racional (simple y compuesto).
Valor Nominal: Capital en el momento de vencimiento.
Valor Efectivo o Actual: El valor presente del capital, 'n' períodos antes de vencimiento.
Descuento Comercial: Es el interés simple calculado sobre el valor nominal del documento por el tiempo que media entre la fecha de descuento y la fecha de vencimiento.
Descuento Racional: Interés simple del valor actual.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre descuento racional y descuento comercial?

El descuento racional se calcula sobre el valor efectivo o actual del capital (DR = V × i × n), mientras que el descuento comercial se calcula sobre el valor nominal (DC = N × d × n). Por eso sus resultados no son iguales.

¿Qué es la tasa efectiva anual?

Es la tasa que indica el verdadero rendimiento de la unidad de capital en la unidad de tiempo, y se calcula como ie = (1 + i/m)^m − 1. Surge al aplicar capitalización subperiódica a la tasa nominal.

¿Cómo se calcula la tasa subperiódica proporcional?

Se obtiene dividiendo la tasa nominal anual j entre la frecuencia de capitalización m, es decir, jm = j / m.