Conceptos Esenciales de Números Complejos: Unidad Imaginaria y Estructura Binómica

Introducción a la Unidad Imaginaria

La interpretación de los números complejos pasa por entender lo que es la llamada “unidad imaginaria”. Este es un concepto clave. Si observamos las situaciones donde aparecen raíces de radicando negativo, veremos que estas quedan reducidas en todos los casos al producto de un número real positivo por la raíz cuadrada de la unidad negativa.

Definición de la Unidad Imaginaria

A ese "mágico" número, Leonhard Euler (1707-1783) lo llamó “unidad imaginaria” y lo representó con la letra i, es decir, i es el número tal que i² = -1, o lo que es lo mismo, i = √-1.

Potencias de la Unidad Imaginaria

Conviene familiarizar a los estudiantes con las potencias de este número. Es un buen ejercicio de investigación averiguar qué sucede con las sucesivas potencias de i. Estas son las cuatro primeras:

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = i² · i = -1 · i = -i
• i⁴ = i² · i² = (-1) · (-1) = 1

Se comprueba cómo las potencias de i se repiten periódicamente de cuatro en cuatro. Por ello, se pedirá que establezcan un algoritmo para determinar el valor de cualquier potencia de i. Este consiste en dividir el exponente entre 4 y observar el resto de la división.

Algoritmo para Potencias de i

En efecto, si queremos averiguar i²³¹, hacemos lo siguiente:

1. Dividimos el exponente (231) entre 4: 231 ÷ 4 = 57 con un resto de 3.
2. El valor de i²³¹ será igual al valor de i elevado al resto, es decir, i³.
3. Como sabemos que i³ = -i, entonces i²³¹ = -i.

El Número Complejo: Forma Binómica

Pasemos a resolver la ecuación [3] mediante la conocida fórmula de la ecuación de segundo grado. La unidad imaginaria i ha permitido obtener una expresión para las dos raíces de la ecuación [3] que, insistimos, ya sabíamos que no tiene solución en el campo de los números reales. A esos números, que, como se ha indicado, primero se les llamó “imaginarios”, a partir de Carl Friedrich Gauss se les ha venido llamando “complejos”.

Obsérvese que las dos soluciones x₁ y x₂ de la ecuación de segundo grado resuelta, tienen dos partes: –1 en ambas y 2i y –2i como segundas partes. Los números que tienen esa forma reciben el nombre de números complejos.

Definición y Componentes del Número Complejo

Se llama número complejo a toda expresión de la forma:

z = a + bi

siendo a y b números reales y la i la unidad imaginaria. Esta manera de expresar el número complejo se conoce como forma binómica. Más adelante veremos que hay otras formas de expresar el número complejo.

El número a recibe el nombre de parte real del número complejo y para referirnos a ella escribiremos Re(z). La b es la parte imaginaria, que notaremos por Im(z). Cuando un número complejo tiene las dos partes no nulas se dice que es completo.

Este resultado permite también definir el número complejo como un par de números reales ordenado (a,b).

Igualdad de Números Complejos

Aunque la siguiente definición pueda parecer una trivialidad, será un concepto que se utilizará para la resolución de ciertos problemas, como los del ejercicio 3.