Conceptos Esenciales de Optimización Matemática y sus Aplicaciones

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Conceptos Fundamentales en Optimización

Variables de Decisión

Las variables representan una decisión directa del individuo, siendo el objetivo asignar valores a estas variables.

Clasificación de Variables:

  • No negativa: x ≥ 0
  • No positiva: x ≤ 0
  • Libre: No se exige ningún signo sobre ella.
  • Entera: Solo puede tomar valores enteros.
  • Discreta: Solo puede tomar un número finito de valores.
  • Continua: Puede tomar un número infinito de valores.

Función Objetivo y Restricciones

Función Objetivo, f(x):

Es la función que se quiere optimizar, ya sea maximizando o minimizando. Proporciona una magnitud que es un indicador de las preferencias del individuo: utilidad, ingresos, etc.

Restricciones, g(x):

Son las condiciones que se imponen a las variables para que una solución sea admisible.

Clasificación de Restricciones:
  • De desigualdad
  • De igualdad
  • De signo

Conjunto de Oportunidad:

Es el conjunto de valores de las variables principales que satisfacen todas las restricciones del problema. Por ejemplo, S = {(x,y) ∈ R² | se cumplen las condiciones}.

Tipos de Soluciones en Optimización

Una solución es cualquier valor posible para las variables principales.

Clasificación de Soluciones:

  • Factible: Solución que satisface todas las restricciones. Forman el conjunto de oportunidad S.
  • Infactible: No satisface todas las restricciones.
  • Interior: Satisface todas las restricciones con desigualdad estricta.
  • Frontera: Satisface al menos una restricción con igualdad.
  • Soluciones Óptimas: Solución factible que optimiza la función objetivo.
  • Máximo Global: Es la solución factible para la cual la función objetivo toma un valor mayor o igual que cualquier otra solución factible.
  • Máximo Local: Es la solución factible para la cual la función objetivo toma un valor mayor o igual que cualquier otra solución factible cercana.

Clasificación de Problemas de Optimización

Los problemas de optimización se clasifican según el tipo de solución que poseen:

  • Infactible: Es aquel que no tiene ninguna solución factible, bien porque todas las soluciones son infactibles, o bien porque el conjunto factible S es vacío (S = ∅).
  • Factible: Es aquel que sí tiene solución factible porque el conjunto factible S no es vacío (S ≠ ∅). Estos, a su vez, se dividen en:
    • Acotado: Aquel que tiene solución óptima global.
    • No acotado: No tiene solución óptima global, pero sí tiene solución óptima local.

Teoremas Fundamentales en Optimización

Teorema de Weierstrass:

Una función objetivo continua sobre un conjunto de oportunidad compacto no vacío (cerrado y acotado) tiene al menos un máximo y un mínimo global.

Teorema Local-Global (Máximo):

Si la función objetivo es (estrictamente) cóncava y el conjunto de oportunidad es convexo, entonces todo máximo local del problema será un máximo global (estricto).

Teorema Local-Global (Mínimo):

Si la función objetivo es (estrictamente) convexa y el conjunto de oportunidad es convexo, entonces todo mínimo local del problema será un mínimo global (estricto).

Convexidad en Optimización

Definición de Conjunto Convexo:

Un conjunto es convexo si al unir dos de sus puntos con un segmento, este pertenece a dicho conjunto.

Un conjunto puede ser definido como convexo por:

  • Restricciones lineales.
  • Una restricción de tipo a partir de una función convexa.
  • Una restricción de tipo a partir de una función cóncava.

Definición de Función Convexa/Cóncava:

  • Una función es (estrictamente) convexa si al unir dos puntos de su gráfica con un segmento, este queda (estrictamente) por encima de la gráfica.
  • Una función es (estrictamente) cóncava si al unir dos puntos de su gráfica con un segmento, este queda (estrictamente) por debajo de la gráfica.

Matriz Hessiana y Convexidad/Concavidad:

Si los coeficientes de la diagonal de la Matriz Hessiana H son todos ≤ 0, la función es cóncava (y si son todos < 0, la función es estrictamente cóncava). Si los coeficientes de la diagonal de H son todos ≥ 0, la función es convexa (y si son todos > 0, la función es estrictamente convexa). En otro caso, no es ni cóncava ni convexa.

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