Conceptos Esenciales de Sistemas de Control: Funciones de Transferencia y Respuesta Temporal

Funciones de Transferencia

La **función de transferencia** de un sistema, denotada como G(s), se define como la relación entre la Transformada de Laplace de la salida, Y(s), y la Transformada de Laplace de la entrada, R(s), asumiendo condiciones iniciales nulas:

G(s) = Y(s)/R(s) = N(s)/D(s)

Donde:

• Los **ceros** del sistema se obtienen al igualar el numerador a cero: N(s) = 0.
• Los **polos** del sistema se obtienen al igualar el denominador a cero: D(s) = 0.

Estabilidad del Sistema

Un sistema es **estable** si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo (es decir, tienen parte real negativa). Si los polos se encuentran sobre el eje imaginario, el sistema presenta **estabilidad marginal**.

Criterio de Routh-Hurwitz

El **Criterio de Routh-Hurwitz** proporciona una condición necesaria para la estabilidad de un sistema: todos los coeficientes del denominador D(s) deben ser positivos y distintos de cero.

Casos Especiales en la Tabla de Routh:

• Si aparece un **cero en la primera columna**, se reemplaza por un valor pequeño ε → 0 y ε > 0. Se completa la tabla y se analiza el signo del término siguiente a ε para determinar la estabilidad.
• Si aparece una **fila de ceros**, se toma la fila anterior y, con su potencia de s, se forma una **ecuación auxiliar**. Esta ecuación se deriva respecto a s, y los coeficientes resultantes sustituyen la fila de ceros.

Cuestiones Comunes

En algunas cuestiones se solicita la condición precisa o los valores de una constante que inestabilizan la planta, y solo se utiliza la condición necesaria (coeficientes > 0). En otras, se pide la **estabilidad robusta**, lo que implica que la parte real de los polos debe ser menor que un valor específico (ej. Parte Real(s) < -0.1).

Reducción de Sistemas

Para simplificar un sistema, se calculan sus ceros y polos y se representan en el plano complejo. Se aplican las siguientes reglas:

• Regla 1: Desprecio de Polos Alejados
  Si la distancia de los polos más alejados es mayor de 6 veces la distancia al origen del **polo dominante** (los polos próximos al origen suelen ser conjugados), estos polos alejados se pueden despreciar.
• Regla 2: Cancelación Polo-Cero
  Cuando la distancia entre un polo y un cero es menor que 6 veces la distancia al origen del **polo dominante**, se pueden cancelar.

Cuestiones Comunes

Se utiliza el método antes citado. Para calcular la ganancia K del nuevo sistema reducido, se debe conservar la misma **ganancia estática**: G(0) = G'(0).

• Una cuestión común es cuando se da la forma del sistema reducido y se deben obtener los parámetros a, b y c para que la respuesta sea lo más parecida posible al sistema original. Para ello, se utilizan las propiedades del **valor final** y del **valor inicial**:
  • y(∞) = lim(s→0) sY(s)
  • y(0) = lim(s→∞) sY(s)

Respuesta Temporal de Sistemas de Primer Orden

La función de transferencia de un sistema de primer orden tiene la forma:

G(s) = k / (s + a)

Parámetros clave de la respuesta temporal para una entrada escalón unitario:

• **Tiempo de establecimiento** (t_s):
  • t_s(5%) = 3/a
  • t_s(2%) = 4/a
• El valor de la respuesta en t = 1/a es y(1/a) = 0.632 * y(∞).
• El **valor final** de la respuesta es y(∞) = lim(t→∞) y(t) = k/a.

Cuestiones Comunes

Se utiliza el tiempo de establecimiento (t_s) para obtener el parámetro a y el valor final (y(∞)) para obtener la ganancia k. En un ejercicio, fue necesario modificar la función de transferencia G(s) para que el término en s no tuviera coeficiente (ej. s en lugar de 4s). En otro caso, se daba un rango de valores para K para obtener un t_s menor, pero K solo podía valer 1 porque la respuesta debía alcanzar un cierto valor final.

Sistemas de Segundo Orden

Para un sistema de segundo orden con función de transferencia estándar G(s) = ω_n² / (s² + 2δω_n s + ω_n²), los parámetros clave de la respuesta temporal son:

• **Frecuencia natural amortiguada**: ω_d = ω_n * √(1 - δ²)
• **Constante de amortiguamiento**: σ = δω_n
• **Factor de amortiguamiento**: δ = σ/ω_n = cos(θ)
• **Tiempo de establecimiento** (t_s):
  • t_s(5%) ≈ 3/σ
  • t_s(2%) ≈ 4/σ
  • t_s(n%) = ln((100/n)/√(1-δ²))/(δω_n)
• **Tiempo de subida**: t_r = (π - θ)/ω_d
• **Tiempo pico**: t_p = π/ω_d
• **Sobreimpulso porcentual** (SO o M_p):
  • SO = M_p = e^(-π/tgθ) * 100%
  • SO = M_p = e^(-πδ/√(1-δ²)) * 100%
• **Valor máximo de la respuesta**: y_max = y(∞) + y(∞) * SO/100
• **Valor final de la respuesta**: y(∞) = lim(t→∞) y(t) = lim(s→0) sY(s)

Relación entre Parámetros y Respuesta

• Para ω_n constante, si δ aumenta, entonces t_r aumenta (respuesta más lenta) y el SO disminuye.
• Para σ constante, si ω_n aumenta, entonces t_r disminuye (respuesta más rápida) con SO constante.
• Además, si δ = 1 (sistema **críticamente amortiguado**), no hay sobreimpulso. Si δ > 1 (sistema **sobreamortiguado**), tampoco hay sobreimpulso.

Cuestiones Comunes

Si se necesita el valor final y(∞), se calcula sin reducir el sistema. Dado que no es de primer orden, para calcularlo se obtiene Y(s) a partir de G(s) * U(s) (normalmente U(s) = 1/s para una entrada escalón unitario).

Una vez reducido el sistema, si el ejercicio consiste en buscar la gráfica adecuada, se observan los polos del sistema reducido y se deduce si:

• δ = 0 (polos en el **eje imaginario**, sistema **no amortiguado**).
• 0 < δ < 1 (polos complejos conjugados en el **semiplano izquierdo**, sistema **subamortiguado**).
• δ ≥ 1 (polos reales en el **semiplano izquierdo**, sistema **críticamente o sobreamortiguado**).

Así se sabe que si δ ≥ 1 no hay sobreimpulso.

También se puede comparar la **ecuación característica** del sistema reducido con la forma estándar (ya sea de primer o segundo orden) para obtener los parámetros. Esto es necesario en algunos ejercicios. Si se obtiene δ, se aplica el mismo razonamiento que antes (δ = 0, etc.). Si se obtiene a (para un sistema de primer orden equivalente), se utilizan propiedades como y(t=1/a) = 0.632 * y(∞). Esto fue útil en un ejercicio donde el sistema equivalente era de primer orden y se presentaban dos gráficas.

Funciones de Transferencia a partir de Sistemas Físicos

Para obtener la función de transferencia de un sistema físico, se siguen estos pasos:

1. Se plantean las ecuaciones de movimiento basadas en la **segunda ley de Newton** (ΣF = ma).
2. Se modelan los elementos del sistema:
   • Muelles que dependen de otros desplazamientos se modelan con k(y-x).
   • Amortiguadores que dependen de otros desplazamientos se modelan con B(dy/dt - dx/dt).
3. Se aplica la **Transformada de Laplace** a las ecuaciones resultantes para obtener G(s).

Ejemplos Comunes

• En un ejercicio con dos muelles en serie, se introduce una masa m → 0 entre ellos (primer muelle k₁x y segundo k₂(y-x)). Si hay un amortiguador en paralelo conectado a la misma pared y masa M que los muelles, y se supone que la masa M se desplaza paralela a la pared, entonces se usa B(dy/dt - dx/dt).
• En otro ejercicio, no se considera el peso. También fue necesaria la tabla de transformadas. Se obtiene Y(s) porque el sistema no podía exhibir oscilaciones en régimen permanente. Se iguala la expresión transformada de F(s) al término más sencillo (numerador o denominador) para simplificar. De manera similar, en otro ejercicio donde se pedía simplificar la componente senoidal de F(s), se consideraba solo el término (s² + ω²), que representa dicha componente.

Funciones de Transferencia a partir de Ecuaciones de un Sistema

Para obtener la función de transferencia a partir de ecuaciones diferenciales de un sistema, se procede de la siguiente manera:

1. Se deriva la ecuación respecto al tiempo, prestando atención a la **regla de la cadena** (ej. si V = kd² - 1, entonces dV/dt = 2kd * dd/dt).
2. Se aplica la **Transformada de Laplace** a la ecuación resultante (ej. sV(s) = 2kdsD(s)) y se obtiene la relación deseada (ej. V(s)/D(s)), sustituyendo un valor dado para d ya que se trataba de pequeñas variaciones.

Método de la Regla de la Cadena

Un método para derivar es la regla de la cadena: V → f → d → t. Si f = kd² - 1, entonces dV/dt = (dV/df) * (df/dd) * (dd/dt) = (1) * (2kd) * (dd/dt).

Consideraciones en Ejercicios

En otro ejercicio, al derivar, en lugar de d aparecía una exponencial. Como también se sustituía por un valor con pequeñas variaciones, se realizaba la sustitución antes de transformar, lo que resultaba en una constante. Se asume que se procedió de manera similar en el caso de V = kd² - 1, aunque no afectaría ya que d se transforma directamente en D(s).

Error en Régimen Permanente

El **error en régimen permanente** (e(∞)) se calcula para sistemas con **realimentación unitaria**. Para determinar el **tipo del sistema**, se observa el exponente r de s en el denominador de la **función de transferencia en bucle abierto** H(s)G(s) (que indica el número de polos en el origen).

La fórmula general para el error en régimen permanente es:

e(∞) = lim(t→∞) e(t) = lim(s→0) sE(s)

Para un sistema con realimentación unitaria, E(s) = R(s) / (1 + G(s)), por lo tanto:

e(∞) = lim(s→0) s * R(s) / (1 + G(s))

Tipos de Error en Régimen Permanente

1. **Error de posición** para entrada escalón (R(s) = 1/s):

   e(∞) = 1/(1 + K_p), donde K_p = lim(s→0) G(s) (constante de error de posición).

2. **Error de velocidad** para entrada rampa (R(s) = 1/s²):

   e(∞) = 1/K_v, donde K_v = lim(s→0) sG(s) (constante de error de velocidad).

3. **Error de aceleración** para entrada parabólica (R(s) = 1/s³):

   e(∞) = 1/K_a, donde K_a = lim(s→0) s²G(s) (constante de error de aceleración).

Para sistemas de un tipo inferior al requerido por la entrada, el error en régimen permanente es **infinito** (∞). Para sistemas de un tipo superior, el error es **cero**.

Fórmula para Pasar a Realimentación Unitaria

Si el sistema no tiene realimentación unitaria, se puede transformar a una forma equivalente con realimentación unitaria utilizando la siguiente fórmula:

G'(s) = G(s) / (1 + (H(s) - 1)G(s))

Cuestiones Comunes

• Si se proporcionan entradas en gráficas que cambian, se considera la última, ya que siempre se calcula el error en régimen permanente (e(∞)).
• En estos casos, se desarrolla la fórmula para calcular el error, ya que R(s) puede ser más compleja y requerir transformación.
• En otro ejercicio, se daban la entrada y salida en función del tiempo para G(s). Para calcular G(s), se transformaban y se dividía la salida entre la entrada. Luego, era necesario usar la fórmula para obtener la realimentación unitaria.
• Si el diagrama es complicado y se pide el error entre u(t) y y(t) pero hay elementos intermedios, se calcula Y(s) = E(s)G(s) y E(s) = U(s) - Y(s) (o E(s) = U(s) - H(s)Y(s) si no es unitaria). Se elimina E(s) de la primera ecuación. Dado U(s), se calcula e(∞) = lim(s→0) s(U(s) - Y(s)).
• Se proporcionaban u(t) y G(s) y se pedían los coeficientes a y b de y(∞) en función de t. Se calculaba Y(s) = U(s)G(s), se transformaba a y(t) y se calculaba y(∞) = lim(t→∞) y(t).