Conceptos Esenciales de Sistemas de Control: Teoremas, Funciones y Clasificación

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Teoremas Fundamentales en Transformada de Laplace

Teorema del Valor Inicial

Utilizado para hallar f(t) en t=0+. Si f(t) y df(t)/dt son transformables por Laplace y si existe lims→∞ {s F(s)}, entonces:

f(0+) = lims→∞ {s F(s)}

Teorema del Valor Final

Si existe limt→∞ f(t), entonces f(t) tiene un valor definido cuando t→∞. Si todos los polos de s F(s) están en el semiplano izquierdo del plano s, entonces existe el límite cuando t→∞ de f(t). Si s F(s) tiene polos en el eje imaginario o en el semiplano positivo de s, entonces el límite cuando t→∞ no existe.

La fórmula f(∞) = lims→0 {s F(s)} es válida solo si el límite existe y todos los polos de s F(s) están en el semiplano izquierdo del plano s.

Funciones Clave en Teoría de Señales

Función Impulso de Área Unitaria y Duración ε

Se designa δε(t) y se obtiene restando señales:

L[δε(t)] = (1/ε) [L[U0(t)] - L[U0(t-ε)]] = (1/(εs)) [1 - e-εs]

Por lo tanto:

f(t) = δε(t) = (1/ε) U0(t) - (1/ε) U0(t-ε)

Función Delta de Dirac

En el caso límite de que ε→0, se designa δ(t).

δ(t) = limε→0 δε(t)

Tiene un área constante e igual a la unidad: A = (1/ε)ε = 1. La amplitud tiende a infinito a medida que su anchura tiende a cero.

Caso Límite: Amplitud infinita, duración cero.

La Transformada de Laplace de la Función Delta de Dirac es:

L[δ(t)] = limε→0 L[δε(t)] = limε→0 [(1/(εs)) (1 - e-εs)]

Aplicando la regla de L'Hôpital para el límite cuando ε→0:

limε→0 [(s e-εs)/s] = limε→0 e-εs = 1

Clasificación de Sistemas de Control

Los sistemas de control pueden clasificarse según diversas características:

  • Número de Variables:
    • Monovariables: Un sistema con una variable de entrada y una variable de salida.
    • Multivariables: Un sistema con múltiples variables de entrada y/o salida.
  • Tipo de Ecuación que los Define Matemáticamente:
    • Lineales: Todos los componentes del sistema son lineales.
    • No Lineales: Al menos un componente del sistema presenta un comportamiento no lineal.
  • Variación de sus Parámetros en el Tiempo:
    • Estacionarios (Invariantes en el Tiempo): Sus parámetros no cambian con el tiempo.
    • No Estacionarios (Variantes en el Tiempo): Sus parámetros cambian con el tiempo.
  • Tipo de Señal Utilizada:
    • Continuos: Todas las variables son funciones continuas en el tiempo.
    • Discretos: Alguna variable está definida para una secuencia de valores discretos en el tiempo.
  • Carácter de sus Variables:
    • Deterministas: El comportamiento futuro puede repetirse y predecirse; cada señal de entrada produce una única salida.
    • Estocásticos: Una entrada puede generar varias salidas debido a la presencia de incertidumbre o ruido.

Conceptos Adicionales en Sistemas de Control

Función Ponderatriz

En los sistemas dinámicos, lineales, continuos e invariantes en el tiempo, las funciones de entrada y salida están relacionadas por la convolución:

y(t) = ∫-∞t h(t-τ) U(τ) dτ

Siendo h(t-τ) la Función Ponderatriz (también conocida como respuesta impulsiva del sistema).

Reguladores

Un regulador mantiene una señal permanente fija en el tiempo. Reacciona ante perturbaciones, compensándolas. Es un sistema con una magnitud piloto fija.

Servomecanismos

Un servomecanismo es un sistema de control realimentado con una magnitud piloto variable. Sus salidas suelen involucrar algún elemento mecánico para posicionamiento o control de movimiento.

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