Conceptos Esenciales y Teoremas Fundamentales de Funciones Continuas en Cálculo

Propiedades de las Funciones Continuas en un Punto

Sean f y g funciones de ℝ en ℝ, y sea a un punto que pertenece al dominio de f (Dom(f)) y al dominio de g (Dom(g)). Si f y g son continuas en a, entonces:

1. La suma (f + g) y el producto (f ⋅ g) son continuos en a.
2. Si g(a) ≠ 0, entonces el cociente (f / g) también es continuo en a.
3. Sea h otra función de ℝ en ℝ, definida en un entorno de f(a). Si f es continua en a y h es continua en f(a), entonces la función compuesta (h o f) es continua en a.

Definiciones de Funciones Acotadas

Una función f de ℝ en ℝ se dice acotada en un conjunto A de su dominio si existe M > 0 tal que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ A.

• Se dice que f está acotada superiormente en A si existe M ∈ ℝ tal que f(x) ≤ M para todo x ∈ A. A M se le denomina cota superior.
• Se dice que f está acotada inferiormente en A si existe k ∈ ℝ tal que k ≤ f(x) para todo x ∈ A. A k se le denomina cota inferior.
• Si f está acotada inferiormente y superiormente, entonces f se dice acotada.

4. Si f es continua en a ∈ Dom(f), entonces f está acotada en algún entorno de a.
5. Si f es continua en a y f(a) > 0, entonces existe un entorno E de a tal que f(x) > 0 para todo x ∈ E. Análogamente, si f(a) < 0, entonces existe un entorno E de a tal que f(x) < 0 para todo x ∈ E.

Funciones Continuas en Intervalos

Una función es continua en un intervalo si es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Si el intervalo es abierto, la función puede no estar acotada. Por ejemplo, f(x) = 1/x no está acotada en el intervalo (0, 1), aunque es continua en él. Como veremos, esto no ocurre si el intervalo es cerrado.

Teorema de Bolzano

Sea f: [a, b] → ℝ una función continua en el intervalo cerrado [a, b] ⊂ ℝ. Si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, es decir, si f(a) ⋅ f(b) < 0, entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Gráficamente, el teorema significa que si f(a) y f(b) están en semiplanos opuestos respecto al eje x, al unir los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) con la gráfica continua de la función, en algún punto se cortará el eje x, y ese punto estará comprendido entre a y b.

Teorema de Weierstrass

Sea f: [a, b] → ℝ una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f alcanza su máximo y su mínimo absolutos en [a, b]; es decir, existen x₁ ∈ [a, b] y x₂ ∈ [a, b] tales que, para todo x ∈ [a, b], se cumple f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂). (En x₁ se alcanzaría el mínimo y en x₂ el máximo).

Si la función no es continua o el intervalo no es cerrado, el teorema podría no cumplirse. Por ejemplo, si f está definida sobre un intervalo semiabierto, podría no alcanzar el máximo. De igual manera, si la función no es continua, aunque esté definida en [a, b], podría no alcanzar ni el máximo ni el mínimo.

Teorema del Valor Intermedio de Darboux

Sea f: [a, b] → ℝ una función continua en el intervalo cerrado [a, b], y sean m y M el mínimo y el máximo de f en [a, b], respectivamente. Entonces, para todo valor p ∈ [m, M], existe algún c ∈ [a, b] tal que f(c) = p. (Esto significa que la función toma todos los valores intermedios entre su mínimo y su máximo).