Conceptos Esenciales de Trigonometría y Geometría: Teoremas de Pitágoras, Cateto y Altura

^{Medida de ángulos}

^{Un ángulo se puede medir en tres formas:}

1. En grados sexagesimales: la circunferencia se divide en 360 partes iguales. Cada parte representa un ángulo –con el vértice en el centro de la circunferencia- de medida un grado sexagesimal, y se indica poniendo 10

2. En grados centesimales: la circunferencia se divide en 400 partes iguales. Cada parte representa un  ángulo –con el vértice en el centro de la circunferencia- de medida un grado centesimal, y se indica poniendo 1g

3. En radianes: un ángulo de medida 1 radián es un ángulo cuyo arco sobre la circunferencia tiene igual longitud que el radio de dicha circunferencia, y se indica poniendo 1 rd

^{Definición de seno, coseno y tangente}

^{Seno: de un ángulo agudo como el cociente entre el cateto opuesto por la hipotenusa.}

^{Coseno: de un ángulo agudo como el cociente entre el cateto contiguo por la hipotenusa.}

^{Tangente: de un ángulo agudo como el cociente entre el cateto opuesto partido por el cateto contiguo.}

^Figura

^{SenB= b/a ; cos=c/a ; tanB= b/c}

^{Teorema del cateto}

Es un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ésta.

^{Demostración}

^{En el triangulo ABC, cos(C^BA)= c/a}

^{Y en el triangulo BMA, cos(MÂC)= c’/c}

^{Por tanto c/a=c’/c  => c2= c’ x a}

^{Análogamente, se demuestra que b2= b’ x a, como queríamos demostrar}

^{Teorema de Pitágoras}

^{En un triangulo rectángulo, la suma de los cuadrados de  los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.}

^{Demostración}

^{Tomemos un cuadrado y sobre sus lados marcamos una distancia c como indica la figura}

 De modo que el cuadrado inicial queda dividido en un cuadrado interior de lado a y cuatro triángulos rectángulos iguales cuyos catetos miden b y c y la hipotenusa  mide a

En la figura anterior, se observa que el área del cuadrado exterior (b+c)2    es igual a la suma de las áreas del cuadrado interior a2 mas el área de los cuadrados triángulos 4 (bc)/2

^{Es decir (b+c)2 =a2+ 2bc}

^{De donde se deduce  b2+c2=a2}

^{Como queríamos demostrar.}

^{Teorema de altura}

En un triangulo rectángulo , la altura sobre la hipotenusa es medida proporcional de las proyecciones de los catetos.

^{Demostración}

^{Observemos la figura adjunta}

^{En donde se aprecia que el ángulo MBA es igual al ángulo MAC. Por tanto,}

^{Tan(M^BA)= h/c’   ;   tan(MÂC)=b’/h}

^{De donde h/c’ =b’/h}

^{Que es lo que queríamos demostrar.}