Conceptos Fundamentais en Álxebra Lineal, Optimización e Ecuacións Diferenciais

Escrito el 31 de Julio de 2025 en español con un tamaño de 11,83 KB

Fundamentos de Álxebra Lineal

Definición: Sistema de Xeradores dun Espazo Vectorial

Un sistema de xeradores dun espazo vectorial V é un conxunto de vectores S = {v₁, v₂, ..., vₖ} tal que calquera vector v ∈ V se pode expresar como unha combinación lineal dos vectores de S. É dicir, existen escalares a₁, a₂, ..., aₖ en K tales que:

v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₖvₖ

Demostración: O Conxunto {v₁, v₂, ..., vₙ, θ} ⊂ ℝⁿ é Linealmente Dependente

Un conxunto de vectores {v₁, v₂, ..., vₙ, θ} ⊂ ℝⁿ é ligado (ou linealmente dependente) se existe unha combinación lineal non trivial dos vectores do conxunto que resulta no vector nulo.

Observamos que θ (o vector nulo) pertence ao conxunto.
Por definición, o vector nulo pódese expresar como unha combinación lineal trivial (usando coeficientes todos iguais a 0).
Máis importante, tamén se pode expresar de forma non trivial porque θ = 0⋅v₁ + 0⋅v₂ + ... + 0⋅vₙ + 1⋅θ.

Isto implica que o conxunto é ligado. Como θ pertence ao conxunto, este sempre será linealmente dependente.

Definición: Espazo ℝⁿ

ℝⁿ será o xeito que teñamos de referirnos ao produto cartesiano de ℝ consigo mesmo n veces, sendo n un valor arbitrario e indeterminado. Entón temos que:

ℝⁿ = {(x₁, x₂, ..., xₙ) | xᵢ ∈ ℝ, i = 1, 2, ..., n}

Definición: Subconxunto Convexo

Dado un subconxunto C ⊆ ℝⁿ, se para calquera par de puntos x, y ∈ C, o segmento que os une está contido completamente en C, entón o subconxunto C é convexo.

Definición: Curva de Nivel f: ℝⁿ → ℝ

Defínese como o conxunto de puntos no dominio de f onde a función toma un valor constante k. É dicir, dado un valor k ∈ ℝ, a curva de nivel está dada por:

Lₖ = {x ∈ ℝⁿ : f(x) = k}

Conceptos Clave en Optimización Matemática

Condición Necesaria de Optimalidade

Para un problema de optimización con restricións de igualdade, a condición necesaria de optimalidade (condicións de Karush-Kuhn-Tucker para igualdades) é:

∇L(x, λ) = θ
∇f(x) − Σmi=1 λᵢ∇gᵢ(x) = 0 ⇔ ∇f(x) = Σmi=1 λᵢ∇gᵢ(x)
gᵢ(x) = 0; i = 1, ..., m

Definicións de Solución e Conxunto Factible

Unha solución factible dun problema é aquela que satisfai todas as restricións.
O conxunto factible dun problema é o conxunto X formado por todas as súas solucións factibles.
Unha solución factible é unha solución de fronteira se cumpre algunha das restricións con igualdade; nese caso, dise que satura a restrición ou que a restrición está activa nesa solución.
Se a solución cumpre unha restrición con desigualdade estrita, dise que non satura esa restrición.

Definición: Dirección Factible

Dado un punto x₀ ∈ X, dise que o vector v ∈ ℝⁿ é unha dirección factible se existe r > 0 tal que para todo h con 0 ≤ h ≤ r se verifica que x₀ + hv ∈ X.

Unha dirección factible permítenos desprazarnos desde o punto x₀ na dirección v un certo incremento sen saír do conxunto factible. O conxunto de todas as direccións factibles desde x₀ en X denotámolo DF(x₀).

Interpretación Económica dos Multiplicadores de Lagrange

Dado o problema "Optimizar f(x) s.a.: g(x) ≤ b" que ten asociada a función de Lagrange L(x, λ) = f(x) − λ(g(x) − b) con x ∈ ℝⁿ, λ, b ∈ ℝᵐ, e dada unha solución óptima do mesmo (x*, λ*), preguntámonos como varía o valor óptimo perante unha variación infinitesimal de b.

Neste caso, se consideramos (x*(b), λ*(b)) as funcións que para cada b ∈ ℝᵐ nos dan a solución óptima do problema, pódese demostrar que:

∂f(x*(b))/∂bᵢ = λ*ᵢ(b), ∀i = 1, ..., m

Podemos interpretar os multiplicadores como un sistema de prezos dos recursos, dos cales a súa dispoñibilidade está limitada polas restricións.

Se falamos dun máximo, λ*ᵢ(b) será un valor positivo que nos dá, en unidades da función obxectivo, canto estariamos dispostos a "pagar" por unha unidade adicional de bᵢ. Dito doutro xeito, unha unidade adicional de bᵢ fainos obter de xeito aproximado λ*ᵢ(b) unidades máis da función obxectivo.
Se falamos dun mínimo, -λ*ᵢ(b) é o que nos dá agora o prezo de bᵢ, o que diminúe a función obxectivo se aumentamos nunha unidade bᵢ.

Definición: Solución Básica

Dado o sistema de m ecuacións e n incógnitas Ax = b, con rank(A) = m < n, sexa B unha submatriz cadrada de orde m regular e x* unha solución do sistema, diremos que x* é unha solución básica de Ax = b respecto da base B se as n-m compoñentes de x* non asociadas con columnas de B son nulas. As compoñentes asociadas ás columnas de B chámanse variables básicas e a matriz B chámase matriz básica. Ademais, se nunha solución básica unha ou máis das variables básicas son nulas, a esa solución chámaselle solución básica dexenerada.

Programación Lineal e Dualidade

Propiedades da Solución Óptima

Se existe unha solución óptima dun problema de programación lineal, existe unha solución óptima que é un vértice do conxunto factible.

O Conxunto de Solucións dun Problema de Programación Lineal é Convexo

Consideremos o problema de maximización: max cx s.a. Ax=b, x>=0.

Demostración:

Se z e y son solucións óptimas, entón λz + (1-λ)y tamén son solucións óptimas para todo λ ∈ [0,1].
Verifícanse as restricións: Az=b, z>=0; Ay=b, y>=0. Ambas toman o mesmo valor: cz=cy >= cx para todo x ∈ X.
Será óptimo dado que c(λz+(1-λ)y) = λcz + (1-λ)cy = cz = cy.
Ademais, λz+(1-λ)y >= 0; e A(λz+(1-λ)y) = λAz + (1-λ)Ay = λb + (1-λ)b = b (substituímos sabendo que Az=b e Ay=b).

Existencia de Solucións en Programación Lineal

Unha condición necesaria e suficiente para que un problema de programación lineal teña solucións é que tanto o conxunto factible do primal como o conxunto factible do dual sexan non baleiros.

Teorema da Dualidade Forte

Unha condición necesaria e suficiente para que exista unha solución óptima para o problema primal é que exista unha solución óptima para o problema dual tal que o valor das funcións obxectivo nas solucións correspondentes coincida.

Condicións de Folgura Complementaria

Unha condición necesaria e suficiente para que x̄ e v̄ sexan solucións óptimas dos problemas primal e dual é que satisfagan as condicións de folgura complementaria:

(c − v̄A)x̄ = θ
v̄(b − Ax̄) = θ

En realidade, o que nos din as condicións de folgura complementaria é:

Se unha variable primal é distinta de cero, a correspondente restrición dual dáse con igualdade.
Se unha restrición primal non se dá con igualdade, a variable dual correspondente é cero.

Ecuacións Diferenciais e en Diferenzas

Definición: Sucesión e Ecuación en Diferenzas

Unha sucesión {zₜ} é solución dunha ecuación en diferenzas se, cando se substitúen os termos correspondentes da sucesión na ecuación, esta se converte nunha identidade para cada valor de t ∈ ℕ.

Existencia e Unicidade de Solución para Ecuacións en Diferenzas

Dado calquera valor arbitrario y₀ ∈ ℝ, o problema de valor inicial yₜ₊₁ = F(t, yₜ), t ∈ ℕ, só ten unha solución.

Demostración:

Dado y₀ ∈ ℝ, substituíndo na ecuación para t=0, temos z₁ = F(0, y₀) que é único.
Substituíndo agora na ecuación para t=1, resulta z₂ = F(1, z₁) que tamén é único.
Supoñamos entón que obtivemos deste xeito zₜ único; substituíndo na ecuación, queda determinado de forma única zₜ₊₁ = F(t, yₜ).
Procedendo deste xeito, obtemos unha sucesión zₜ que é a única solución do noso problema de valor inicial.

Estado de Equilibrio en Ecuacións en Diferenzas

Dise que yₑ ∈ ℝ é un estado de equilibrio da ecuación yₜ₊₁ = F(yₜ) se a sucesión constante igual a yₑ é solución da ecuación. Dito doutro xeito, un estado de equilibrio é calquera solución da ecuación x = F(x).

Ecuación Diferencial Ordinaria de Primeira Orde

Unha ecuación diferencial ordinaria de primeira orde en forma explícita ten a expresión: y'(t) = F(t, y(t)), t ∈ I ⊂ ℝ.

Diremos que é autónoma cando a relación entre a variable de estado e a súa derivada non depende do tempo: y'(t) = F(y(t)), t ∈ ℝ.

Unha solución da ecuación diferencial y'(t) = F(t,y(t)) no intervalo [a, b] é unha función h(t) derivable en [a,b] que verifica a ecuación h'(t) = F(t, h(t)) para todo t ∈ [a,b].

Interpretación Xeométrica da Ecuación y' = F(t, y)

A ecuación diferencial y' = F(t, y) especifica, en cada punto do plano onde estea definida a función F, a pendente da recta tanxente á curva solución da ecuación que pasa por ese punto.

Problema de Cauchy

É o problema de determinar a solución dunha ecuación diferencial ordinaria de primeira orde que verifica a condición inicial y(t₀) = y₀, e escríbese:

y'(t) = F(t, y(t))
y(t₀) = y₀

Teorema de Existencia e Unicidade de Solución (Cauchy-Lipschitz)

Se na ecuación diferencial y' = F(t, y) a función F(t, y) e a súa derivada parcial D₂F(t, y) son continuas nun aberto de ℝ², e se (t₀, y₀) é un punto deste aberto, entón existe unha única solución definida nunha veciñanza de t₀ para o problema de Cauchy:

y' = F(t, y)
y(t₀) = y₀

Solución Xeral da Ecuación Diferencial

A solución xeral da ecuación diferencial é unha familia de funcións y(t, C), C ∈ ℝ, que verifica:

Para todo C ∈ ℝ, y(t, C) é solución da ecuación diferencial.
Calquera que sexa a condición inicial y(t₀) = y₀, pódese determinar un valor C₀ tal que a función y(t, C₀) verifica a condición inicial dada.

Ecuación Diferencial de Bernoulli

Ten a expresión xeral y' = Q(t)y + R(t)yⁿ.

Facendo o cambio de variable z = y¹⁻ⁿ, obtemos z' = (1 − n)y⁻ⁿ y'. Isto implica que y' = z'yⁿ / (1-n).

Substituíndo na ecuación orixinal:

z'yⁿ / (1-n) = Q(t)y + R(t)yⁿ
z' = (1-n)(Q(t)y/yⁿ + R(t))
z' = (1-n)(Q(t)y¹⁻ⁿ + R(t))
z' = (1-n)(Q(t)z + R(t))

que é unha ecuación diferencial lineal de primeira orde.

Ecuacións Diferenciais Separables

Son as ecuacións diferenciais de primeira orde que se poden expresar como y' = f(t)g(y), sendo f e g funcións de ℝ en ℝ.

Entradas relacionadas:

Etiquetas: