Conceptos Fundamentales de Álgebra: Ecuaciones, Polinomios y Sistemas

Racionalización de Fracciones

Racionalizar una fracción consiste en obtener otra fracción equivalente sin radicales en el denominador.

Simplificación de Expresiones

(x+1)(x-1) → x² - 1

x² - 5x + 6 (simplifica) → (x-3)(x-2)

Fracciones Algebraicas

Una fracción algebraica es una expresión de tipo P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Teorema del Resto

Las raíces enteras de un polinomio P(x) están siempre entre los divisores del término independiente. Ejemplo: x² + x + 1 = 1 + 1 + 1

Ecuaciones Exponenciales

Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la incógnita está situada en el exponente. Ejemplo: 2^x-2 = 512 = 2^x-2 = 2⁹, entonces x - 2 = 9, x = 11

Ecuaciones con Denominadores

Para resolver ecuaciones con denominadores, se debe multiplicar cada término por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Sistemas de Ecuaciones

Las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son los valores que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.

Inecuaciones

Resolver una inecuación consiste en hallar todos los valores de la variable que hacen que la desigualdad sea cierta.

Verdadero o Falso

• V - Todos los números racionales son reales.
• V - La raíz cuadrada del producto de dos números es el producto de las raíces cuadradas de cada uno de ellos.
• F - Todos los números reales son racionales.
• El número 5,01001000100001... es irracional.
• F - La raíz cuadrada de la suma de dos números es la suma de las raíces cuadradas de cada uno de ellos.
• El número 3/5 es racional.
• El número 5,5555555... es racional.
• Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios.
• Para sumar dos fracciones algebraicas, previamente hay que poner denominador común.
• V - El producto es una operación interna en el conjunto de fracciones algebraicas. Si multiplicamos dos fracciones algebraicas, el resultado es una fracción algebraica.
• La suma de dos polinomios de grado 3 es un polinomio de grado menor o igual que 3.
• Sabemos que P(2) = 1, entonces el resto de dividir P(x) entre (x-2) es 1.
• El producto de dos polinomios de grado 4 será un polinomio de grado 8.
• Un polinomio de grado 7, como mucho, tendrá 7 raíces reales.
• Si P(5) = 6, el resto de dividir P(x) entre x-5 es 6.
• Queremos factorizar el polinomio P(x), puede tener factores de primer y segundo grado.

Resolución de Ecuaciones y Sistemas

• ¿Qué es una solución de una ecuación? Es cualquier valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta.
• El método de sustitución consiste en despejar una variable en una ecuación y sustituir en la otra.
• Resolver un sistema es hallar todas sus soluciones.
• Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, si ambas ecuaciones son no lineales, puede tener más de dos pares solución.
• Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede resolver gráficamente.
• El sistema de ecuaciones 2x - 3y = 22, 5x + 2y = 13 tiene solución única.
• Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede tener una solución, ninguna o infinitas.
• El método de G. Polya consta de 4 pasos y es el más aceptado a la hora de resolver problemas.
• Una ecuación irracional, en general, se resuelve elevando los dos miembros de la ecuación al cuadrado.
• Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.